Trigonometrijske funkcije

Prikaz osnovnih trigonometrijskih funkcija u pravokutnom trokutu

Prikaz trigonometrijskih funkcija na jediničnoj kružnici. Nedostaju sekans: (O,T1) i kosekans: (O,T2)

Trigonometrijske funkcije dobile su ime po grani matematike, koja ih koristi za rješavanje trokuta, a koja se naziva trigonometrija.

Kada je kut, dakle argument ovih funkcija realan broj, tada su to funkcije sinus i kosinus, od kojih se izvode sve ostale. Od ostalih osnovnih funkcija kuta često su u upotrebi tangens, pa i kotangens, a rjeđe se sreću kosekans i sekans, i konačno najrjeđe sinus versus i kosinus versus. Kada je kut kompleksan broj tada funkcije kuta mogu prijeći u hiperboličke funkcije.

Inverzne trigonometrijske funkcije zovu se ciklometrijske funkcije i arkus-funkcije, tj. funkcija^-1.

Definicija

Trigonometrijske su funkcije sinus (sin), kosinus (cos), tangens (tg), kotangens (ctg), sekans (sec) i kosekans (csc).

Svaka od funkcija pruža omjer (kvocijent) dviju stranica u pravokutnom trokutu:

Sinus kuta uz vrh A jednak je kvocijentu nasuprotne katete i hipotenuze pravokutnog trokuta. $\sin \alpha ={\frac {o}{h}}$

Kosinus kuta uz vrh A jednak je kvocijentu priležeće katete i hipotenuze pravokutnog trokuta. $\cos \alpha ={\frac {a}{h}}$

Tangens kuta uz vrh A jednak je kvocijentu nasuprotne i priležeće katete pravokutnog trokuta. $\tan \alpha =tg\,\alpha ={\frac {o}{a}}$

(u praksi se rabe dvije notacije: tg i tan za tangens)

Recipročne funkcije

Kotangens kuta uz vrh A jednak je kvocijentu priležeće i nasuprotne katete pravokutnog trokuta. $\cot \alpha =ctg\,\alpha ={\frac {1}{\tan \alpha }}={\frac {a}{o}}$

(u praksi se rabe dvije notacije: ctg i cot za kotangens)

Sekans kuta uz vrh A jednak je kvocijentu hipotenuze i priležeće stranice pravokutnog trokuta. $\sec \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }}={\frac {h}{a}}$

Kosekans kuta uz vrh A jednak je kvocijentu hipotenuze i nasuprotne stranice pravokutnog trokuta. $\csc \alpha ={\frac {1}{\sin \alpha }}={\frac {h}{o}}$

Sinus versus (ili versinus) je komplement kosinusu: $versin\,\alpha =1-\cos \alpha$

Kosinus versus (ili verkosinus) je komplement sinusu: $vercos\,\alpha =1-\sin \alpha$

Inverzne trigonometrijske funkcije

Inverzne trigonometrijske funkcije su: arkussinus (arcsin), arkuskosinus (arccos), arkustangens (arctg), arcuskotangens (arcctg), arcussekans (arcsec) i arkuskosekans (arccsc).

Ako je poznat omjer (kvocijent) dviju stranica u pravokutnom trokutu, svaka od arkus funkcija nalazi vrijednost kuta:

Arkussinus kvocijenta nasuprotne katete i hipotenuze pravokutnog trokuta je kut uz vrh A: $\arcsin {\frac {o}{h}}=\alpha$

Arkuskosinus kvocijenta priležeće katete i hipotenuze pravokutnog trokuta jednak je kutu uz vrh A: $\arccos {\frac {a}{h}}=\alpha$

Arkustangens kvocijenta nasuprotne katete i priležeće stranice pravokutnog trokuta je kut uz vrh A: $\arctan {\frac {o}{a}}=\alpha$

Arkuskotangens kvocijenta priležeće katete i nasuprotne stranice pravokutnog trokuta jednak je kutu uz vrh A: $\operatorname {arccot} {\frac {a}{o}}=\alpha$

Izvori

Trigonometrijske i hiperbolne funkcije

Sinus Kosinus Tangens Kotangens Sekans Kosekans Funkcija sin(x) cos(x) tg(x) ctg(x) sec(x) cosec(x) Inverzna arcsin(x) arccos(x) arctg(x) arcctg(x) arcsec(x) arccosec(x) Hiperbolna sh(x) ch(x) th(x) ctgh(x) sech(x) cosech(x) Inv. hiperbolna Arsh(x) Arch(x) Arth(x) Arcth(x) Arsech(x) Arcosech(x)