Trigonometrija

Trigonometrija je grana matematike koja je proistekla iz proučavanja odnosa između kutova i duljina stranica trokuta. Pojavila se u helenizmu tijekom 3. stoljeća pr. n. e. u primjenama geometrije i astronomskim proučavanjima.^[2] Grci su se usredotočili na izračun duljina tetiva kružnice, dok su matematičari u Indiji izradili najstarije poznate tablice vrijednosti za trigonometrijske omjere, koji danas nose ime trigonometrijske funkcije.^[3] Te se funkcije mogu poopćiti i na kutove koji se ne mogu naći u trokutu i koje su periodične u skupu realnih brojeva pa se danas trigonometrija definira kao grana koja proučava poopćene trigonometrijske funkcije i bavi se njihovom upotrebom.^[4]

Ime trigonometrije dolazi od starogrčkih riječi τρίγωνον (trígōnon) za trokut i μέτρον (métron) za mjeru.^[5]

Trigonometrija se kroz povijest primjenjivala u područjima kao što su geodezija, zemljomjerstvo, nebeska mehanika i navigacija.^[6] S pomoću trigonometrijskih funkcija mogle su se izraziti putanje u topništvu.^[7] Bez nje je nezamisliva današnja tehnologija, posebice digitalna grafika i digitalna analiza i sinteza zvuka.

Trigonometrija je poznata po brojnim trigonometrijskim jednakostima koje se upotrebljavaju za pretvorbu i pojednostavljivanje trigonometrijskih izraza i rješavanje jednadžbi.

Povijest

Sumerski astronomi proučavali su mjerenje kutova koristeći podjelu kruga na 360 stupnjeva.^[8] Oni, a poslije i Babilonci, proučavali su omjere stranica sličnih trokuta i otkrili neka svojstva tih omjera, ali to nisu pretvorili u sustavnu metodu za pronalaženje stranica i kutova trokuta. Interpretacije podataka na ploči Plimpton 322 iz oko 1900. godine pr. n. e. ukazuju na to da su Babilonci tada imali precizne seksagezimalne tablice sekansa.^[9] Drevni Nubijci imali su sličnu metodu.^[10]

U 3. stoljeću pr. n. e. grčki matematičari poput Euklida i Arhimeda proučavali su svojstva tetiva i obodnih kutova kružnice te su dokazali teoreme koji su ekvivalentni modernim trigonometrijskim formulama, iako su ih prikazali geometrijski, a ne algebarski. Hiparh iz Nikeje u Maloj Aziji dao je 140. godine pr. n. e. prve tablice za tetive, analogne suvremenim tablicama vrijednosti funkcije sinus, i koristio ih za rješavanje problema u ravninskoj i sfernoj trigonometriji.^[11] U 2. stoljeću nove ere grčko-egipatski astronom Ptolemej iz Aleksandrije u Egiptu konstruirao je detaljne trigonometrijske tablice u 1. knjizi svojega Almagesta.^[12] Ptolemej je koristio duljinu tetive kružnice za definiranje svojih trigonometrijskih funkcija, što je slično današnjoj konvenciji za sinuse:^[11] vrijednost za sin ϑ dobije se iz duljine tetive za dvostruki kut (2ϑ) u njegovoj tablici i dijeljenjem te vrijednosti s dva. Stoljeća su prošla prije nego što su izrađene detaljnije tablice, a Ptolemejev rad ostao je u upotrebi za izvođenje trigonometrijskih izračuna u astronomiji tijekom sljedećih 1200 godina, u srednjovjekovnom bizantskom, islamskom, i naposljetku u zapadnoeuropskom svijetu.

Moderna definicija funkcije sinus prvi je put potvrđena u sanskrtskom traktatu Sūrya Siddhānta, a njezina je svojstva dodatno dokumentirao u 5. stoljeću indijski matematičar i astronom Aryabhata.^[3] Grčka i indijska djela preveli su i proširili srednjovjekovni islamski matematičari. Godine 830. perzijski matematičar Habash al-Hasib al-Marwazi izradio je prvu tablicu kotangensa.^[13]^[14] Do 10. stoljeća nove ere perzijski matematičar Abū al-Wafā' al-Būzjānī upotrebio je svih šest trigonometrijskih funkcija.^[3] Abu al-Wafa imao je tablice sinusa u koracima od četvrtine stupnja (0,25°) s točnošću od 8 decimalnih mjesta i točne tablice vrijednosti tangensa.^[3] Također je uveo važne inovacije u sfernu trigonometriju.^[15]^[16]^[17] Perzijski polihistor Nasirudin Tusi smatra se tvorcem trigonometrije kao zasebne matematičke discipline,^[18]^[19] neovisne o astronomiji, a razvio je i sfernu trigonometriju u njezin današnji oblik.^[14] Naveo je šest različitih slučajeva pravokutnog trokuta u sfernoj trigonometriji, otkrio poučak o sinusima za ravninske trokute i trokute na sferi i tangensni poučak za sferne trokute i dokazao ih.^[20] Znanje o trigonometrijskim funkcijama i metodama dospjelo je u zapadnu Europu preko latinskih prijevoda Ptolemejeva grčkog Almagesta kao i djela perzijskih i arapskih astronoma kao što su Al Battani i Nasirudin Tusi.^[3] Jedno od najranijih djela o trigonometriji sjevernoeuropskog matematičara jest De Triangulis Nijemca Regiomontana iz 15. stoljeća, kojega je bizantski grčki učenjak kardinal Bazil Bessarion s kojim je živio potaknuo da piše i opskrbio ga primjerkom Almagesta.^[21] U isto vrijeme, drugi prijevod Almagesta s grčkog na latinski dovršio je Krećanin George iz Trapezunda.^[22] Trigonometrija je još uvijek bila toliko malo poznata u sjevernoj Europi 16. stoljeća da je Nikola Kopernik posvetio dva poglavlja knjige De revolutionibus orbium coelestium pojašnjavanju osnovnih pojmova.

Potaknuta potrebama navigacije i točnih karata velikih geografskih područja, trigonometrija je prerasla u glavnu granu matematike.^[23] Bartholomaeus Pitiscus prvi je upotrijebio tu riječ, objavivši svoj rad Trigonometria 1595. godine.^[24] Gemma Frisius prvi je opisao metodu triangulacije koja se i danas koristi u geodetskoj izmjeri. Leonhard Euler uključio je kompleksne brojeve u trigonometriju. Radovi škotskih matematičara Jamesa Gregoryja u 17. stoljeću i Colina Maclaurina u 18. stoljeću utjecali su na razvoj trigonometrijskih redova.^[25] U 18. stoljeću Brook Taylor definirao je opći Taylorov red.^[26]

Trigonometrijski omjeri

Trigonometrijski omjeri jesu omjeri duljina stranica pravokutnog trokuta. Ti omjeri ovise samo o jednom oštrom kutu pravokutnog trokuta jer su svaka dva pravokutna trokuta s istim oštrim kutom slična.^[27]

Omjeri definiraju funkcije toga kuta koje se nazivaju trigonometrijske funkcije. U nastavku ih prikazujemo kao funkcije poznatog kuta α (alfa) u vrhu A, uz oznake a za duljinu nasuprotne katete, b za duljinu priležeće katete i h za duljinu hipotenuze:

Sinus kuta α (oznaka: sin α) jest omjer duljina nasuprotne stranice i hipotenuze:

\sin \alpha ={\frac {a}{h}}

Kosinus kuta α (oznaka: cos α) jest omjer duljina priležeće katete i hipotenuze:

\cos \alpha ={\frac {b}{h}}.

Tangens kuta α (oznaka: tan α ili tg α) jest omjer duljina nasuprotne i priležeće katete:

\tan \alpha ={\frac {a}{b}}={\frac {a/h}{b/h}}={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}

Hipotenuza je stranica nasuprot kutu od 90 stupnjeva u pravokutnom trokutu; to je najduža stranica trokuta i jedna od dviju stranica koje zatvaraju kut u vrhu A. Priležeća kateta jest druga stranica koja zatvara kut u vrhu A. Nasuprotna kateta jest stranica koja je nasuprot kutu u vrhu A.

Recipročne vrijednosti tih omjera nazivaju se kosekans (csc), sekans (sec) i kotangens (cot ili ctg):

\csc \alpha ={\frac {1}{\sin \alpha }}={\frac {h}{a}}

\sec \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }}={\frac {h}{b}}

\cot \alpha ={\frac {1}{\tan \alpha }}={\frac {\cos A}{\sin A}}={\frac {b}{a}}

Funkcije kosinus, kotangens i kosekans nazvane su tako jer su jednake sinusu, tangensu i sekansu komplementarnog kuta (β=90°–α), što se dodaje kao prefiks ko– u njihovu imenu.^[28]

Pomoću ovih funkcija mogu se riješiti gotovo sva pitanja o proizvoljnim trokutima upotrebom sinusnog poučka i kosinusnog poučka.^[29] Ti se poučci mogu upotrebljavati za izračunavanje preostalih kutova i stranica bilo kojeg trokuta čim su poznate duljine dviju stranica i kut među njima ili dva kuta i duljina stranice ili duljine svih triju stranica.

Jedinična kružnica i uobičajene trigonometrijske vrijednosti

Sinus i kosinus kuta ϑ definirani su pomoću jedinične kružnice.

Trigonometrijski omjeri mogu se prikazati pomoću jedinične kružnice, što je kružnica radijusa 1 sa središtem u ishodištu ravnine.^[30] U ovoj postavci promatrani kut ϑ zatvara apscisa koordinatnog sustava i zraka iz središta kružnice prema točki (x,y) na kružnici, gdje je onda x=cos ϑ i y=sin ϑ.^[30] Uz poznavanje vrijednosti funkcija za neke uobičajene kutove (30°, 45°) iz tog se prikaza mogu odrediti vrijednosti kutova koji ih na neki način komplementiraju:^[31]

kut	0	$\pi /6$	$\pi /4$	$\pi /3$	$\pi /2$	$2\pi /3$	$3\pi /4$	$5\pi /6$	$\pi$
	0	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°
sinus	$0$	$1/2$	${\sqrt {2}}/2$	${\sqrt {3}}/2$	$1$	${\sqrt {3}}/2$	${\sqrt {2}}/2$	$1/2$	$0$
kosinus	$1$	${\sqrt {3}}/2$	${\sqrt {2}}/2$	$1/2$	$0$	$-1/2$	$-{\sqrt {2}}/2$	$-{\sqrt {3}}/2$	$-1$
tangens	$0$	${\sqrt {3}}/3$	$1$	${\sqrt {3}}$	—	$-{\sqrt {3}}$	$-1$	$-{\sqrt {3}}/3$	$0$
sekans	$1$	$2{\sqrt {3}}/3$	${\sqrt {2}}$	$2$	—	$-2$	$-{\sqrt {2}}$	$-2{\sqrt {3}}/3$	$-1$
kosekans	—	$2$	${\sqrt {2}}$	$2{\sqrt {3}}/3$	$1$	$2{\sqrt {3}}/3$	${\sqrt {2}}$	$2$	—
kotangens	—	${\sqrt {3}}$	$1$	${\sqrt {3}}/3$	$0$	$-{\sqrt {3}}/3$	$-1$	$-{\sqrt {3}}$	—

Trigonometrijske funkcije realne i kompleksne varijable

Koristeći se jediničnom kružnicom definicije trigonometrijskih omjera mogu se proširiti na sve realne brojeve^[32] u kojima su sinus i kosinus funkcije s periodom 2π (360°), a tangens i kotangens s periodom π (180°).

Grafovi trigonometrijskih funkcija

Sljedeća tablica prikazuje glavna svojstva grafova šest trigonometrijskih funkcija:^[33]^[34]

funkcija	period	domena	kodomena
sin	$2\pi$	$(-\infty ,\infty )$	$[-1,1]$
cos	$2\pi$	$(-\infty ,\infty )$	$[-1,1]$
tg	$\pi$	$x\neq \pi /2+n\pi$	$(-\infty ,\infty )$
sec	$2\pi$	$x\neq \pi /2+n\pi$	$(-\infty ,-1]\cup [1,\infty )$
cosec	$2\pi$	$x\neq n\pi$	$(-\infty ,-1]\cup [1,\infty )$
ctg	$\pi$	$x\neq n\pi$	$(-\infty ,\infty )$

Inverzne trigonometrijske funkcije

Kako su glavne trigonometrijske funkcije periodične one nisu injektivne pa stoga nisu invertibilne, ali se ograničavanjem domene mogu učiniti invertibilnima.^[35] ^:48ff

Nazivi inverznih trigonometrijskih funkcija, zajedno s njihovim domenama i rasponom, nalaze se u sljedećoj tablici:^[35] ^:48ff^[36] ^:521ff

	formula	definicija	domena	raspon uobičajenih glavnih vrijednosti (radijan)	raspon uobičajenih glavnih vrijednosti (stupanj)
arkus sinus	y = $arcsin(x)$	x = $sin (y)$	−1 ≤ x ≤ 1	−π/2 ≤ y ≤ π/2	−90° ≤ y ≤ 90°
arkus kosinus	y = $arccos(x)$	x = $cos (y)$	−1 ≤ x ≤ 1	0 ≤ y ≤ $π$	0° ≤ y ≤ 180°
arkus tangens	y = $arctan(x)$	x = $tan (y)$	svi realni brojevi	−π/2 < y < π/2	−90° < y < 90°
arkus kotangens	y = $arccot(x)$	x = $cot (y)$	svi realni brojevi	0 < y < $π$	0° < y < 180°
arkus sekans	y = $arcsec(x)$	x = $sec (y)$	x ≤ −1 or 1 ≤ x	0 ≤ y < π/2 ili π/2 < y ≤ $π$	0° ≤ y < 90° or 90° < y ≤ 180°
arkus kosekans	y = $arccsc(x)$	x = $csc (y)$	x ≤ −1 or 1 ≤ x	−π/2 ≤ y < 0 or 0 < y ≤ π/	−90° ≤ y < 0° or 0° < y ≤ 90°

Prikaz u obliku reda

Kada se uzmu kao funkcije realne varijable, trigonometrijski omjeri mogu se prikazati zbrojem beskonačnog niza tj. redom potencija svoje bezdimenzijske varijable (npr. kuta izraženog u radijanima). Na primjer, sinus i kosinus imaju sljedeće prikaze:^[37]

{\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\end{aligned}}

{\begin{aligned}\cos x&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.\end{aligned}}

Uskličnik u tim formulama označava vrijednost faktorijela.

Pomoću ovih definicija trigonometrijske funkcije mogu se definirati za kompleksne brojeve.^[38] Kada se eksponencijalnu funkciju poopći na skup kompleksnih brojeva, vrijedi i formula koju se naziva Eulerovom formulom:^[39]

e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y).

Izračunavanje trigonometrijskih funkcija

Trigonometrijske funkcije bile su jedan od prvih primjera upotrebe matematičkih tablica.^[40] One su se dugo nalazile u udžbenicima, a učenike se podučavalo kako nalaziti vrijednosti funkcija i interpolirati vrijednosti za kutove koji nisu bili navedeni u tablicama.^[41] Poneki logaritamari (šiberi) imali su posebne ljestvice za trigonometrijske funkcije.^[42]

Napredniji kalkulatori imali su tipke za izračun glavnih trigonometrijskih funkcija. Većina računalnih programskih jezika ima biblioteke funkcija koje uključuju trigonometrijske funkcije.^[43] Hardverske jedinice s pomičnim zarezom ugrađene u mikroprocesore osobnih računala imaju ugrađene upute za izračun trigonometrijskih funkcija.^[44]

Primjene

Astronomija

Stoljećima se sferna trigonometrija koristila za određivanje položaja Sunca, Mjeseca i zvijezda,^[45] predviđanje pomrčina i opisivanje orbita planeta.^[46]

U moderno doba, tehnika triangulacije koristi se u astronomiji za mjerenje udaljenosti do obližnjih zvijezda,^[47] kao i u satelitskim navigacijskim sustavima.^[17]

Navigacija

Povijesno gledano, trigonometrija se koristila za određivanje zemljopisne širine i dužine jedrenjaka, iscrtavanje putanja i izračunavanje udaljenosti tijekom plovidbe.^[48]

Trigonometrija se još uvijek koristi u navigaciji putem sredstava kao što su sustav globalnog pozicioniranja i umjetna inteligencija za autonomna vozila.

Geodetske izmjere

U zemljomjerstvu, trigonometrija se koristi za izračunavanje duljina, površina i relativnih kutova između objekata.^[49]

Na većoj skali, trigonometrija se koristi u geografiji za mjerenje udaljenosti između orijentira.(30°, 45°)^[50]

Periodične funkcije

Funkcija $s(x)$ (crveno) dobivena je kao zbroj šest sinusnih funkcija različitih amplituda i harmonijski povezanih frekvencija. Taj se zbroj naziva Fourierov red. Fourierova transformacija $S(f)$ (plavo) koja prikazuje amplitudu u odnosu na frekvenciju otkriva 6 frekvencija (*na neparnim harmonicima*) i njihove amplitude (*1/neparni broj*).

Funkcije sinus i kosinus važne su za teoriju periodičnih funkcija,^[51] poput onih koje opisuju zvučne i svjetlosne valove. Fourier je otkrio da se svaka kontinuirana periodična funkcija može opisati kao zbroj beskonačnog niza trigonometrijskih funkcija.

Čak se i neperiodične funkcije mogu prikazati kao integral sinusa i kosinusa s pomoću Fourierove transformacije. Ona, među ostalim, ima primjenu u kvantnoj mehanici^[52] i komunikacijama.^[53]

Optika i akustika

Trigonometrija je korisna u mnogim fizičkim znanostima,^[54] uključujući akustiku^[55] i optiku.^[55] U tim se područjima koristi za opisivanje zvučnih i svjetlosnih valova.^[56]

Ostale aplikacije

Polja koja koriste trigonometriju ili trigonometrijske funkcije uključuju teoriju glazbe,^[57] geodeziju, audiosintezu,^[58] arhitekturu,^[59] elektroniku,^[57] biologiju,^[60] medicinsko snimanje ( CT skeniranje i ultrazvuk),^[61] kemiju,^[62] teoriju brojeva (a time i kriptografiju),^[63] seizmologiju,^[55] meteorologiju,^[64] oceanografiju,^[65] kompresiju slika,^[66] fonetiku,^[67] ekonomiju,^[68] elektrotehniku, strojarstvo, građevinarstvo,^[57] računalnu grafiku,^[69] kartografiju,^[57] kristalografiju^[70] i razvoj računalnih igara.^[69]

Trigonometrijski identiteti

Trokut sa stranicama a, b, c i njima nasuprotnim vrhovima A, B, C u kojima su kutovi α, β, γ.

Trigonometrija je poznata po svojim brojnim identitetima, odnosno jednadžbama koje su istinite za sve moguće brojeve.^[71]

Identiteti koji uključuju samo kutove poznati su kao trigonometrijski identiteti. Druge jednadžbe, poznate kao identiteti trokuta,^[72] povezuju stranice i kutove danog trokuta.

Identiteti trokuta

U sljedećim identitetima α, β, γ jesu kutovi u vrhovima trokuta A, B, C, dok su a, b i c duljine tim vrhovima nasuprotnih stranica.

Sinusni poučak

Sinusni poučak za proizvoljan trokut izražava se formulama^[73]

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R={\frac {abc}{2P}}

gdje $P$ je površina trokuta, a R je polumjer trokutu opisane kružnice:

R={\frac {abc}{\sqrt {(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)}}}.

Kosinusni poučak

Kosinusni poučak proširenje je Pitagorina poučka na proizvoljne trokute:^[73]

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma

To se ponekad piše i kao

\cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.

Projekcijska formula

Duljina stranice trokuta može se dobiti kao zbroj projekcija drugih dviju stranica na nju, na primjer:^[74]

c=a\cos \beta +b\cos \alpha

Površina trokuta

Ako su zadane dvije stranice a i b i kut između njih γ, površina trokuta dana je polovicom umnoška duljina stranica i sinusa tog kuta:^[73]

P={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma

Trigonometrijski identiteti

Sljedeći trigonometrijski identitet povezan je s Pitagorinim poučkom i vrijedi za bilo koju vrijednost x:^[75]

\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1\

Eulerova formula

Eulerova formula $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ daje sljedeće analitičke identitete za sinus, kosinus i tangens s pomoću broja e i imaginarne jedinice i:

\sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},\qquad \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \tan x={\frac {i(e^{-ix}-e^{ix})}{e^{ix}+e^{-ix}}}.

Ostali trigonometrijski identiteti

Ostali često korišteni trigonometrijski identiteti uključuju identitete polukuta, identitete zbroja i razlike kutova te identitete umnožaka i zbroja.^[27]

Literatura

Boyer, Carl B. 1991. A history of mathematics 2 izdanje. Wiley. New York. ISBN 978-0-471-54397-8
Nielsen, Kaj L. 1966. Logarithmic and Trigonometric Tables to Five Places 2 izdanje. Barnes & Noble
Thurston, Hugh A. 1996. Early astronomy. Springer study edition 1. ed., 1. softcover printing izdanje. Springer. New York Berlin Heidelberg. ISBN 978-0-387-94822-5

Izvori

↑ Monroe Kenyon, Alfred; Ingold, Louis. 1914. Introduction. Trigonometry. The Macmillan Company. New York.
↑ R. Nagel (ed.), Encyclopedia of Science, 2nd Ed., The Gale Group (2002)
↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Boyer 1991.
↑ Trigonometry. Encyclopædia Britannica (engleski). 17. lipnja 2024. Pristupljeno 26. lipnja 2024.
↑ Trigonometrija. Hrvatski jezični portal. Pristupljeno 16. siječnja 2024.
↑ Charles William Hackley. 1853. A treatise on trigonometry, plane and spherical: with its application to navigation and surveying, nautical and practical astronomy and geodesy, with logarithmic, trigonometrical, and nautical tables. G. P. Putnam
↑ Barnard, Raymond W.; Maor, Eli. 17. lipnja 2024. Trigonometry: Application to science. Encyclopædia Britannica
↑ Pimentel, Ric; Wall, Terry. 2018. Cambridge IGCSE Core Mathematics 4th izdanje. Hachette UK. str. 275. ISBN 978-1-5104-2058-8 Extract of page 275
↑ Mansfield, Daniel F.; Wildberger, N.J. Studeni 2017. Plimpton 322 is Babylonian exact sexagesimal trigonometry. Historia Mathematica (engleski). 44 (4): 395–419. doi:10.1016/j.hm.2017.08.001. ISSN 0315-0860
↑ Otto Neugebauer. 1975. A history of ancient mathematical astronomy. 1. Springer-Verlag. str. 744. ISBN 978-3-540-06995-9
↑ ^a ^b Thurston (1996).
↑ Toomer, G. 1998. Ptolemy's Almagest. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00260-6
↑ Jacques Sesiano, "Islamic mathematics", p. 157, in Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan, ur. 2000. Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics. Springer Science+Business Media. ISBN 978-1-4020-0260-1
↑ ^a ^b trigonometry. Encyclopædia Britannica. Pristupljeno 21. srpnja 2008.
↑ Moussa, Ali. 2011. Mathematical Methods in Abū al-Wafāʾ's Almagest and the Qibla Determinations. Arabic Sciences and Philosophy. Cambridge University Press. 21 (1): 1–56. doi:10.1017/S095742391000007X
↑ Gingerich, Owen. "Islamic astronomy." Scientific American 254.4 (1986): 74–83
↑ ^a ^b Michael Willers. 13. veljače 2018. Armchair Algebra: Everything You Need to Know From Integers To Equations. Book Sales. str. 37. ISBN 978-0-7858-3595-0
↑ Nasir al-Din al-Tusi. MacTutor History of Mathematics archive. Pristupljeno 8. siječnja 2021.. One of al-Tusi's most important mathematical contributions was the creation of trigonometry as a mathematical discipline in its own right rather than as just a tool for astronomical applications. In Treatise on the quadrilateral al-Tusi gave the first extant exposition of the whole system of plane and spherical trigonometry. This work is really the first in history on trigonometry as an independent branch of pure mathematics and the first in which all six cases for a right-angled spherical triangle are set forth.
↑ Berggren, J. L. Listopad 2013. Islamic Mathematics. the cambridge history of science. 2. Cambridge University Press. str. 62–83. doi:10.1017/CHO9780511974007.004. ISBN 9780521594486
↑ Berggren, J. Lennart. 2007. Mathematics in Medieval Islam. The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press. str. 518. ISBN 978-0-691-11485-9
↑ Johann Müller Regiomontanus. MacTutor History of Mathematics archive. Pristupljeno 8. siječnja 2021.
↑ N.G. Wilson (1992). From Byzantium to Italy. Greek Studies in the Italian Renaissance, London. ISBN 0-7156-2418-0
↑ Grattan-Guinness, Ivor. 1997. The Rainbow of Mathematics: A History of the Mathematical Sciences. W.W. Norton. ISBN 978-0-393-32030-5
↑ Robert E. Krebs. 2004. Groundbreaking Scientific Experiments, Inventions, and Discoveries of the Middle Ages and the Renaissance. Greenwood Publishing Group. str. 153. ISBN 978-0-313-32433-8
↑ Ewald, William Bragg. 21. travnja 2005. From Kant to Hilbert Volume 1: A Source Book in the Foundations of Mathematics (engleski). OUP Oxford. str. 93. ISBN 978-0-19-152309-0
↑ Dempski, Kelly. Studeni 2002. Focus on Curves and Surfaces (engleski). Premier Press. str. 29. ISBN 978-1-59200-007-4
↑ ^a ^b James Stewart; Lothar Redlin; Saleem Watson. 16. siječnja 2015. Algebra and Trigonometry. Cengage Learning. str. 448. ISBN 978-1-305-53703-3
↑ Dick Jardine; Amy Shell-Gellasch. 2011. Mathematical Time Capsules: Historical Modules for the Mathematics Classroom. MAA. str. 182. ISBN 978-0-88385-984-1
↑ Krystle Rose Forseth; Christopher Burger; Michelle Rose Gilman; Deborah J. Rumsey. 2008. Pre-Calculus For Dummies. John Wiley & Sons. str. 218. ISBN 978-0-470-16984-1
↑ ^a ^b David Cohen; Lee B. Theodore; David Sklar. 17. srpnja 2009. Precalculus: A Problems-Oriented Approach, Enhanced Edition. Cengage Learning. ISBN 978-1-4390-4460-5
↑ W. Michael Kelley. 2002. The Complete Idiot's Guide to Calculus. Alpha Books. str. 45. ISBN 978-0-02-864365-6
↑ Jenny Olive. 18. rujna 2003. Maths: A Student's Survival Guide: A Self-Help Workbook for Science and Engineering Students. Cambridge University Press. str. 175. ISBN 978-0-521-01707-7
↑ Mary P Attenborough. 30. lipnja 2003. Mathematics for Electrical Engineering and Computing. Elsevier. str. 418. ISBN 978-0-08-047340-6
↑ Ron Larson; Bruce H. Edwards. 10. studenoga 2008. Calculus of a Single Variable. Cengage Learning. str. 21. ISBN 978-0-547-20998-2
↑ ^a ^b Elizabeth G. Bremigan; Ralph J. Bremigan; John D. Lorch. 2011. Mathematics for Secondary School Teachers. MAA. ISBN 978-0-88385-773-1
↑ Martin Brokate; Pammy Manchanda; Abul Hasan Siddiqi. 3. kolovoza 2019. Calculus for Scientists and Engineers. Springer. ISBN 9789811384646
↑ Serge Lang. 14. ožujka 2013. Complex Analysis. Springer. str. 63. ISBN 978-3-642-59273-7
↑ Silvia Maria Alessio. 9. prosinca 2015. Digital Signal Processing and Spectral Analysis for Scientists: Concepts and Applications. Springer. str. 339. ISBN 978-3-319-25468-5
↑ John Stillwell. 23. srpnja 2010. Mathematics and Its History. Springer Science & Business Media. str. 313. ISBN 978-1-4419-6053-5
↑ Martin Campbell-Kelly; Mary Croarken; Raymond Flood; Eleanor Robson. 2. listopada 2003. The History of Mathematical Tables: From Sumer to Spreadsheets. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-850841-0
↑ George S. Donovan; Beverly Beyreuther Gimmestad. 1980. Trigonometry with calculators. Prindle, Weber & Schmidt. ISBN 978-0-87150-284-1
↑ Ross Raymond Middlemiss. 1945. Instructions for Post-trig and Mannheim-trig Slide Rules. Frederick Post Company
↑ Steven S. Skiena; Miguel A. Revilla. 18. travnja 2006. Programming Challenges: The Programming Contest Training Manual. Springer Science & Business Media. str. 302. ISBN 978-0-387-22081-9
↑ Intel® 64 and IA-32 Architectures Software Developer's Manual Combined Volumes: 1, 2A, 2B, 2C, 3A, 3B and 3C (PDF). Intel. 2013
↑ Olinthus Gregory. 1816. Elements of Plane and Spherical Trigonometry: With Their Applications to Heights and Distances Projections of the Sphere, Dialling, Astronomy, the Solution of Equations, and Geodesic Operations. Baldwin, Cradock, and Joy
↑ Neugebauer, Otto. 1948. Mathematical methods in ancient astronomy. Bulletin of the American Mathematical Society. 54 (11): 1013–1041. doi:10.1090/S0002-9904-1948-09089-9
↑ Michael Seeds; Dana Backman. 5. siječnja 2009. Astronomy: The Solar System and Beyond. Cengage Learning. str. 254. ISBN 978-0-495-56203-0
↑ John Sabine. 1800. The Practical Mathematician, Containing Logarithms, Geometry, Trigonometry, Mensuration, Algebra, Navigation, Spherics and Natural Philosophy, Etc. str. 1
↑ George Roberts Perkins. 1853. Plane Trigonometry and Its Application to Mensuration and Land Surveying: Accompanied with All the Necessary Logarithmic and Trigonometric Tables. D. Appleton & Company
↑ Charles W. J. Withers; Hayden Lorimer. 14. prosinca 2015. Geographers: Biobibliographical Studies. A&C Black. str. 6. ISBN 978-1-4411-0785-5
↑ H. G. ter Morsche; J. C. van den Berg; E. M. van de Vrie. 7. kolovoza 2003. Fourier and Laplace Transforms. Cambridge University Press. str. 61. ISBN 978-0-521-53441-3
↑ Bernd Thaller. 8. svibnja 2007. Visual Quantum Mechanics: Selected Topics with Computer-Generated Animations of Quantum-Mechanical Phenomena. Springer Science & Business Media. str. 15. ISBN 978-0-387-22770-2
↑ M. Rahman. 2011. Applications of Fourier Transforms to Generalized Functions. WIT Press. ISBN 978-1-84564-564-9
↑ Lawrence Bornstein; Basic Systems, Inc. 1966. Trigonometry for the Physical Sciences. Appleton-Century-Crofts
↑ ^a ^b ^c John J. Schiller; Marie A. Wurster. 1988. College Algebra and Trigonometry: Basics Through Precalculus. Scott, Foresman. ISBN 978-0-673-18393-4
↑ Dudley H. Towne. 5. svibnja 2014. Wave Phenomena. Dover Publications. ISBN 978-0-486-14515-0
↑ ^a ^b ^c ^d E. Richard Heineman; J. Dalton Tarwater. 1. studenoga 1992. Plane Trigonometry. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-028187-5
↑ Mark Kahrs; Karlheinz Brandenburg. 18. travnja 2006. Applications of Digital Signal Processing to Audio and Acoustics. Springer Science & Business Media. str. 404. ISBN 978-0-306-47042-4
↑ Kim Williams; Michael J. Ostwald. 9. veljače 2015. Architecture and Mathematics from Antiquity to the Future: Volume I: Antiquity to the 1500s. Birkhäuser. str. 260. ISBN 978-3-319-00137-1
↑ Dan Foulder. 15. srpnja 2019. Essential Skills for GCSE Biology. Hodder Education. str. 78. ISBN 978-1-5104-6003-4
↑ Luciano Beolchi; Michael H. Kuhn. 1995. Medical Imaging: Analysis of Multimodality 2D/3D Images. IOS Press. str. 122. ISBN 978-90-5199-210-6
↑ Marcus Frederick Charles Ladd. 2014. Symmetry of Crystals and Molecules. Oxford University Press. str. 13. ISBN 978-0-19-967088-8
↑ Gennady I. Arkhipov; Vladimir N. Chubarikov; Anatoly A. Karatsuba. 22. kolovoza 2008. Trigonometric Sums in Number Theory and Analysis. Walter de Gruyter. ISBN 978-3-11-019798-3
↑ Study Guide for the Course in Meteorological Mathematics: Latest Revision, Feb. 1, 1943. 1943
↑ Mary Sears; Daniel Merriman; Woods Hole Oceanographic Institution. 1980. Oceanography, the past. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90497-9
↑ JPEG Standard (JPEG ISO/IEC 10918-1 ITU-T Recommendation T.81) (PDF). International Telecommunication Union. 1993. Pristupljeno 6. travnja 2019.
↑ Kirsten Malmkjaer. 4. prosinca 2009. The Routledge Linguistics Encyclopedia. Routledge. str. 1. ISBN 978-1-134-10371-3
↑ Kamran Dadkhah. 11. siječnja 2011. Foundations of Mathematical and Computational Economics. Springer Science & Business Media. str. 46. ISBN 978-3-642-13748-8
↑ ^a ^b Christopher Griffith. 12. studenoga 2012. Real-World Flash Game Development: How to Follow Best Practices AND Keep Your Sanity. CRC Press. str. 153. ISBN 978-1-136-13702-0
↑ John Joseph Griffin. 1841. A System of Crystallography, with Its Application to Mineralogy. R. Griffin. str. 119
↑ Dugopolski. Srpanj 2002. Trigonometry I/E Sup. Addison Wesley. ISBN 978-0-201-78666-8
↑ V&S EDITORIAL BOARD. 6. siječnja 2015. CONCISE DICTIONARY OF MATHEMATICS. V&S Publishers. str. 288. ISBN 978-93-5057-414-0
↑ ^a ^b ^c Cynthia Y. Young. 19. siječnja 2010. Precalculus. John Wiley & Sons. str. 435. ISBN 978-0-471-75684-2
↑ Trigonometrija. Hrvatska enciklopedija. LZMK
↑ Peterson, John C. 2004. Technical Mathematics with Calculus illustrated izdanje. Cengage Learning. str. 856. ISBN 978-0-7668-6189-3 Extract of page 856

Vanjske poveznice

Khan Academy: Trigonometrija
Trigonometrija Alfreda Monroea Kenyona i Louisa Ingolda iz 1914.
Trigonometry Encyclopædia Britannica

[AMK-1] Monroe Kenyon, Alfred; Ingold, Louis. 1914. Introduction. Trigonometry. The Macmillan Company. New York.

[2] R. Nagel (ed.), Encyclopedia of Science, 2nd Ed., The Gale Group (2002)

[FOOTNOTEBoyer1991-3] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Boyer 1991.

[4] Trigonometry. Encyclopædia Britannica (engleski). 17. lipnja 2024. Pristupljeno 26. lipnja 2024.

[5] Trigonometrija. Hrvatski jezični portal. Pristupljeno 16. siječnja 2024.

[Hackley1853-6] Charles William Hackley. 1853. A treatise on trigonometry, plane and spherical: with its application to navigation and surveying, nautical and practical astronomy and geodesy, with logarithmic, trigonometrical, and nautical tables. G. P. Putnam

[7] Barnard, Raymond W.; Maor, Eli. 17. lipnja 2024. Trigonometry: Application to science. Encyclopædia Britannica

[8] Pimentel, Ric; Wall, Terry. 2018. Cambridge IGCSE Core Mathematics 4th izdanje. Hachette UK. str. 275. ISBN 978-1-5104-2058-8 Extract of page 275

[9] Mansfield, Daniel F.; Wildberger, N.J. Studeni 2017. Plimpton 322 is Babylonian exact sexagesimal trigonometry. Historia Mathematica (engleski). 44 (4): 395–419. doi:10.1016/j.hm.2017.08.001. ISSN 0315-0860

[10] Otto Neugebauer. 1975. A history of ancient mathematical astronomy. 1. Springer-Verlag. str. 744. ISBN 978-3-540-06995-9

[FOOTNOTEThurston1996-11] Thurston (1996).

[toomer-12] Toomer, G. 1998. Ptolemy's Almagest. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00260-6

[Sesiano-13] Jacques Sesiano, "Islamic mathematics", p. 157, in Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan, ur. 2000. Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics. Springer Science+Business Media. ISBN 978-1-4020-0260-1

[Britannica-14] trigonometry. Encyclopædia Britannica. Pristupljeno 21. srpnja 2008.

[musa-15] Moussa, Ali. 2011. Mathematical Methods in Abū al-Wafāʾ's Almagest and the Qibla Determinations. Arabic Sciences and Philosophy. Cambridge University Press. 21 (1): 1–56. doi:10.1017/S095742391000007X

[16] Gingerich, Owen. "Islamic astronomy." Scientific American 254.4 (1986): 74–83

[Willers2018-17] Michael Willers. 13. veljače 2018. Armchair Algebra: Everything You Need to Know From Integers To Equations. Book Sales. str. 37. ISBN 978-0-7858-3595-0

[18] Nasir al-Din al-Tusi. MacTutor History of Mathematics archive. Pristupljeno 8. siječnja 2021.. One of al-Tusi's most important mathematical contributions was the creation of trigonometry as a mathematical discipline in its own right rather than as just a tool for astronomical applications. In Treatise on the quadrilateral al-Tusi gave the first extant exposition of the whole system of plane and spherical trigonometry. This work is really the first in history on trigonometry as an independent branch of pure mathematics and the first in which all six cases for a right-angled spherical triangle are set forth.

[19] Berggren, J. L. Listopad 2013. Islamic Mathematics. the cambridge history of science. 2. Cambridge University Press. str. 62–83. doi:10.1017/CHO9780511974007.004. ISBN 9780521594486

[20] Berggren, J. Lennart. 2007. Mathematics in Medieval Islam. The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press. str. 518. ISBN 978-0-691-11485-9

[21] Johann Müller Regiomontanus. MacTutor History of Mathematics archive. Pristupljeno 8. siječnja 2021.

[22] N.G. Wilson (1992). From Byzantium to Italy. Greek Studies in the Italian Renaissance, London. ISBN 0-7156-2418-0

[23] Grattan-Guinness, Ivor. 1997. The Rainbow of Mathematics: A History of the Mathematical Sciences. W.W. Norton. ISBN 978-0-393-32030-5

[24] Robert E. Krebs. 2004. Groundbreaking Scientific Experiments, Inventions, and Discoveries of the Middle Ages and the Renaissance. Greenwood Publishing Group. str. 153. ISBN 978-0-313-32433-8

[25] Ewald, William Bragg. 21. travnja 2005. From Kant to Hilbert Volume 1: A Source Book in the Foundations of Mathematics (engleski). OUP Oxford. str. 93. ISBN 978-0-19-152309-0

[26] Dempski, Kelly. Studeni 2002. Focus on Curves and Surfaces (engleski). Premier Press. str. 29. ISBN 978-1-59200-007-4

[StewartRedlin2015-27] James Stewart; Lothar Redlin; Saleem Watson. 16. siječnja 2015. Algebra and Trigonometry. Cengage Learning. str. 448. ISBN 978-1-305-53703-3

[JardineShell-Gellasch2011-28] Dick Jardine; Amy Shell-Gellasch. 2011. Mathematical Time Capsules: Historical Modules for the Mathematics Classroom. MAA. str. 182. ISBN 978-0-88385-984-1

[ForsethBurger2008-29] Krystle Rose Forseth; Christopher Burger; Michelle Rose Gilman; Deborah J. Rumsey. 2008. Pre-Calculus For Dummies. John Wiley & Sons. str. 218. ISBN 978-0-470-16984-1

[CohenTheodore2009-30] David Cohen; Lee B. Theodore; David Sklar. 17. srpnja 2009. Precalculus: A Problems-Oriented Approach, Enhanced Edition. Cengage Learning. ISBN 978-1-4390-4460-5

[Kelley2002-31] W. Michael Kelley. 2002. The Complete Idiot's Guide to Calculus. Alpha Books. str. 45. ISBN 978-0-02-864365-6

[Olive2003-32] Jenny Olive. 18. rujna 2003. Maths: A Student's Survival Guide: A Self-Help Workbook for Science and Engineering Students. Cambridge University Press. str. 175. ISBN 978-0-521-01707-7

[Attenborough2003-33] Mary P Attenborough. 30. lipnja 2003. Mathematics for Electrical Engineering and Computing. Elsevier. str. 418. ISBN 978-0-08-047340-6

[LarsonEdwards2008-34] Ron Larson; Bruce H. Edwards. 10. studenoga 2008. Calculus of a Single Variable. Cengage Learning. str. 21. ISBN 978-0-547-20998-2

[BremiganBremigan2011-35] Elizabeth G. Bremigan; Ralph J. Bremigan; John D. Lorch. 2011. Mathematics for Secondary School Teachers. MAA. ISBN 978-0-88385-773-1

[BrokateManchanda2019-36] Martin Brokate; Pammy Manchanda; Abul Hasan Siddiqi. 3. kolovoza 2019. Calculus for Scientists and Engineers. Springer. ISBN 9789811384646

[Lang2013-37] Serge Lang. 14. ožujka 2013. Complex Analysis. Springer. str. 63. ISBN 978-3-642-59273-7

[Alessio2015-38] Silvia Maria Alessio. 9. prosinca 2015. Digital Signal Processing and Spectral Analysis for Scientists: Concepts and Applications. Springer. str. 339. ISBN 978-3-319-25468-5

[Stillwell2010-39] John Stillwell. 23. srpnja 2010. Mathematics and Its History. Springer Science & Business Media. str. 313. ISBN 978-1-4419-6053-5

[Campbell-KellyCampbell-Kelly2003-40] Martin Campbell-Kelly; Mary Croarken; Raymond Flood; Eleanor Robson. 2. listopada 2003. The History of Mathematical Tables: From Sumer to Spreadsheets. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-850841-0

[DonovanGimmestad1980-41] George S. Donovan; Beverly Beyreuther Gimmestad. 1980. Trigonometry with calculators. Prindle, Weber & Schmidt. ISBN 978-0-87150-284-1

[Middlemiss1945-42] Ross Raymond Middlemiss. 1945. Instructions for Post-trig and Mannheim-trig Slide Rules. Frederick Post Company

[43] Steven S. Skiena; Miguel A. Revilla. 18. travnja 2006. Programming Challenges: The Programming Contest Training Manual. Springer Science & Business Media. str. 302. ISBN 978-0-387-22081-9

[44] Intel® 64 and IA-32 Architectures Software Developer's Manual Combined Volumes: 1, 2A, 2B, 2C, 3A, 3B and 3C (PDF). Intel. 2013

[Gregory1816-45] Olinthus Gregory. 1816. Elements of Plane and Spherical Trigonometry: With Their Applications to Heights and Distances Projections of the Sphere, Dialling, Astronomy, the Solution of Equations, and Geodesic Operations. Baldwin, Cradock, and Joy

[46] Neugebauer, Otto. 1948. Mathematical methods in ancient astronomy. Bulletin of the American Mathematical Society. 54 (11): 1013–1041. doi:10.1090/S0002-9904-1948-09089-9

[SeedsBackman2009-47] Michael Seeds; Dana Backman. 5. siječnja 2009. Astronomy: The Solar System and Beyond. Cengage Learning. str. 254. ISBN 978-0-495-56203-0

[Sabine1800-48] John Sabine. 1800. The Practical Mathematician, Containing Logarithms, Geometry, Trigonometry, Mensuration, Algebra, Navigation, Spherics and Natural Philosophy, Etc. str. 1

[Perkins1853-49] George Roberts Perkins. 1853. Plane Trigonometry and Its Application to Mensuration and Land Surveying: Accompanied with All the Necessary Logarithmic and Trigonometric Tables. D. Appleton & Company

[WithersLorimer2015-50] Charles W. J. Withers; Hayden Lorimer. 14. prosinca 2015. Geographers: Biobibliographical Studies. A&C Black. str. 6. ISBN 978-1-4411-0785-5

[MorscheBerg2003-51] H. G. ter Morsche; J. C. van den Berg; E. M. van de Vrie. 7. kolovoza 2003. Fourier and Laplace Transforms. Cambridge University Press. str. 61. ISBN 978-0-521-53441-3

[Thaller2007-52] Bernd Thaller. 8. svibnja 2007. Visual Quantum Mechanics: Selected Topics with Computer-Generated Animations of Quantum-Mechanical Phenomena. Springer Science & Business Media. str. 15. ISBN 978-0-387-22770-2

[Rahman2011-53] M. Rahman. 2011. Applications of Fourier Transforms to Generalized Functions. WIT Press. ISBN 978-1-84564-564-9

[BornsteinInc1966-54] Lawrence Bornstein; Basic Systems, Inc. 1966. Trigonometry for the Physical Sciences. Appleton-Century-Crofts

[SchillerWurster1988-55] John J. Schiller; Marie A. Wurster. 1988. College Algebra and Trigonometry: Basics Through Precalculus. Scott, Foresman. ISBN 978-0-673-18393-4

[Towne2014-56] Dudley H. Towne. 5. svibnja 2014. Wave Phenomena. Dover Publications. ISBN 978-0-486-14515-0

[HeinemanTarwater1992-57] E. Richard Heineman; J. Dalton Tarwater. 1. studenoga 1992. Plane Trigonometry. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-028187-5

[KahrsBrandenburg2006-58] Mark Kahrs; Karlheinz Brandenburg. 18. travnja 2006. Applications of Digital Signal Processing to Audio and Acoustics. Springer Science & Business Media. str. 404. ISBN 978-0-306-47042-4

[WilliamsOstwald2015-59] Kim Williams; Michael J. Ostwald. 9. veljače 2015. Architecture and Mathematics from Antiquity to the Future: Volume I: Antiquity to the 1500s. Birkhäuser. str. 260. ISBN 978-3-319-00137-1

[Foulder2019-60] Dan Foulder. 15. srpnja 2019. Essential Skills for GCSE Biology. Hodder Education. str. 78. ISBN 978-1-5104-6003-4

[BeolchiKuhn1995-61] Luciano Beolchi; Michael H. Kuhn. 1995. Medical Imaging: Analysis of Multimodality 2D/3D Images. IOS Press. str. 122. ISBN 978-90-5199-210-6

[Ladd2014-62] Marcus Frederick Charles Ladd. 2014. Symmetry of Crystals and Molecules. Oxford University Press. str. 13. ISBN 978-0-19-967088-8

[ArkhipovChubarikov2008-63] Gennady I. Arkhipov; Vladimir N. Chubarikov; Anatoly A. Karatsuba. 22. kolovoza 2008. Trigonometric Sums in Number Theory and Analysis. Walter de Gruyter. ISBN 978-3-11-019798-3

[64] Study Guide for the Course in Meteorological Mathematics: Latest Revision, Feb. 1, 1943. 1943

[SearsMerriman1980-65] Mary Sears; Daniel Merriman; Woods Hole Oceanographic Institution. 1980. Oceanography, the past. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90497-9

[66] JPEG Standard (JPEG ISO/IEC 10918-1 ITU-T Recommendation T.81) (PDF). International Telecommunication Union. 1993. Pristupljeno 6. travnja 2019.

[Malmkjaer2009-67] Kirsten Malmkjaer. 4. prosinca 2009. The Routledge Linguistics Encyclopedia. Routledge. str. 1. ISBN 978-1-134-10371-3

[Dadkhah2011-68] Kamran Dadkhah. 11. siječnja 2011. Foundations of Mathematical and Computational Economics. Springer Science & Business Media. str. 46. ISBN 978-3-642-13748-8

[Griffith2012-69] Christopher Griffith. 12. studenoga 2012. Real-World Flash Game Development: How to Follow Best Practices AND Keep Your Sanity. CRC Press. str. 153. ISBN 978-1-136-13702-0

[Griffin1841-70] John Joseph Griffin. 1841. A System of Crystallography, with Its Application to Mineralogy. R. Griffin. str. 119

[Dugopolski2002-71] Dugopolski. Srpanj 2002. Trigonometry I/E Sup. Addison Wesley. ISBN 978-0-201-78666-8

[BOARD2015-72] V&S EDITORIAL BOARD. 6. siječnja 2015. CONCISE DICTIONARY OF MATHEMATICS. V&S Publishers. str. 288. ISBN 978-93-5057-414-0

[Young2010-73] Cynthia Y. Young. 19. siječnja 2010. Precalculus. John Wiley & Sons. str. 435. ISBN 978-0-471-75684-2

[HE-74] Trigonometrija. Hrvatska enciklopedija. LZMK

[75] Peterson, John C. 2004. Technical Mathematics with Calculus illustrated izdanje. Cengage Learning. str. 856. ISBN 978-0-7668-6189-3 Extract of page 856

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

[63]

[64]

[65]

[66]

[67]

[68]

[69]

[70]

[71]

[72]

[73]

[74]

[75]