Graf osnovnih hiperbolnih funkcija Geometrijski prikaz hiperbolnih funkcija. Desna polovica jedinične hiperbole , apscisa i pravac kroz ishodište i točku (ch a , sh a ) zatvaraju površinu ploštine a /2. Hiperbolne funkcije su funkcije u matematici koje odgovaraju trigonometrijskim funkcijama (sinus , kosinus itd.) na hiperboli . Nezavisno su ih otkrili 1760.-ih godina matematičari Vincenzo Riccati i Johann Heinrich Lambert , koji ih je koristio za računanje površine hiperbolnog trokuta. Tek su u 19. stoljeću našle širu upotrebu nakon Lobačevskijevog otkrića hiperbolne geometrije .
Dok skup svih točaka oblika (cos x , sin x ) čini jediničnu kružnicu x 2 + y 2 = 1, skup (ch x , sh x ) čini desnu stranu hiperbole x 2 - y 2 = 1. Hiperbolne funkcije usko su povezane s trigonometrijskim funkcijama, između ostalog zbog jednakosti (iy )2 = −y 2 .
Osnovne hiperbolne funkcije su:
sinus hiperbolni:
sh
x
=
sinh
x
=
e
x
−
e
−
x
2
{\displaystyle \operatorname {sh} x=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}
kosinus hiperbolni:
ch
x
=
cosh
x
=
e
x
+
e
−
x
2
{\displaystyle \operatorname {ch} x=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}
Prethodne dvije funkcije su ujedno redomi neparni i parni dio eksponencijalne funkcije . Iz njih se izvode tangens i kotangens hiperbolni:
tangens hiperbolni:
th
x
=
tanh
x
=
sh
x
ch
x
=
e
x
−
e
−
x
e
x
+
e
−
x
{\displaystyle \operatorname {th} x=\tanh x={\frac {\operatorname {sh} x}{\operatorname {ch} x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}}
kotangens hiperbolni:
cth
x
=
coth
x
=
ch
x
sh
x
=
e
x
+
e
−
x
e
x
−
e
−
x
=
1
th
x
{\displaystyle \operatorname {cth} x=\coth x={\frac {\operatorname {ch} x}{\operatorname {sh} x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {1}{\operatorname {th} x}}}
Rijetko se koriste:
sekans hiperbolni:
sech
x
=
1
ch
x
=
2
e
x
+
e
−
x
{\displaystyle \operatorname {sech} x={\frac {1}{\operatorname {ch} x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}}
kosekans hiperbolni:
cosech
x
=
1
sh
x
=
2
e
x
−
e
−
x
{\displaystyle \operatorname {cosech} x={\frac {1}{\operatorname {sh} x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}}
Hiperbolne funkcije nisu periodične, za razliku od običnih trigonometrijskih funkcija, stoga mogu imati prave inverze . Inverzi hiperbolnih funkcija su area funkcije (oznaka: Ar); to je hiperbolni analogon arkus funkcijama na kružnici:
area sinus hiperbolni, Arsh
area kosinus hiperbolni, Arch
area tangens hiperbolni, Arth
area kotangens hiperbolni, Arcth, itd. Hiperbolni sinus, tangens i kotangens su neparne funkcije , te stoga imaju prave inverze, dok je kosinus hiperbolni paran, pa area kosinus hiperbolni definiramo kao inverz desne polovice (x ≥ 0) funkcije ch x .
Arsh
x
=
ln
(
x
+
x
2
+
1
)
{\displaystyle \operatorname {Arsh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)}
Arch
x
=
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
,
x
≥
1
{\displaystyle \operatorname {Arch} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right),\quad x\geq 1}
Arth
x
=
1
2
ln
1
+
x
1
−
x
,
|
x
|
<
1
{\displaystyle \operatorname {Arth} x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}},\quad \left|x\right|<1}
Arcth
x
=
1
2
ln
x
+
1
x
−
1
,
|
x
|
>
1
{\displaystyle \operatorname {Arcth} x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}},\quad \left|x\right|>1}
sh
′
x
=
ch
x
ch
′
x
=
sh
x
th
′
x
=
1
−
th
2
x
=
sech
2
x
=
1
ch
2
x
cth
′
x
=
1
−
cth
2
x
=
−
cosech
2
x
=
−
1
sh
2
x
x
≠
0
sech
′
x
=
−
th
x
sech
x
cosech
′
x
=
−
cth
x
cosech
x
x
≠
0
Arsh
′
x
=
1
x
2
+
1
Arch
′
x
=
1
x
2
−
1
x
>
1
Arth
′
x
=
1
1
−
x
2
|
x
|
<
1
Arcth
′
x
=
1
1
−
x
2
|
x
|
>
1
Arsech
′
x
=
−
1
x
1
−
x
2
0
<
x
<
1
Arcosech
′
x
=
−
1
|
x
|
1
+
x
2
x
≠
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sh} 'x&=\operatorname {ch} x\\\operatorname {ch} 'x&=\operatorname {sh} x\\\operatorname {th} 'x&=1-\operatorname {th} ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x={\frac {1}{\operatorname {ch} ^{2}x}}\\\operatorname {cth} 'x&=1-\operatorname {cth} ^{2}x=-\operatorname {cosech} ^{2}x=-{\frac {1}{\operatorname {sh} ^{2}x}}&&x\neq 0\\\operatorname {sech} 'x&=-\operatorname {th} x\operatorname {sech} x\\\operatorname {cosech} 'x&=-\operatorname {cth} x\operatorname {cosech} x&&x\neq 0\\\operatorname {Arsh} 'x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\\\operatorname {Arch} 'x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}&&x>1\\\operatorname {Arth} 'x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&|x|<1\\\operatorname {Arcth} 'x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&|x|>1\\\operatorname {Arsech} 'x&=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}&&0<x<1\\\operatorname {Arcosech} 'x&=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}&&x\neq 0\end{aligned}}}
Zbog svojih banalnih derivacija, area funkcije se relativno često pojavljuju kao integrali jednostavnijih funkcija.
Sinus hiperbolni i kosinus hiperbolni jednaki su vlastitoj drugoj derivaciji :
sh
″
x
=
sh
x
ch
″
x
=
ch
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sh} ''x&=\operatorname {sh} x\\\operatorname {ch} ''x&=\operatorname {ch} x\end{aligned}}}
Sve funkcije s tim svojstvom (uključujući ex e−x ) su linearne kombinacije sh i ch.
