Sturla je rukometnu karijeru započeo u Íþróttafélag Reykjavíkuru da bi 2004. prešao u danski Aarhus. Nakon četiri godine u klubu, Ásgeirsson potpisuje za bundesligaša HSG Düsseldorf kojeg napušta poslije sezone 2009./10. te se vraća u domovinu potpisujući za Valur[1] čiji je i danas član.