Pitagorine trojke

Pitagorina trojka je naziv za uređenu trojku prirodnih brojeva $(x,y,z)$ gdje su $x$ i $y$ duljine kateta, a $z$ duljina hipotenuze nekog pravokutnog trokuta. Prema Pitagorinom poučku je $x^{2}+y^{2}=z^{2}$.

Ako su $x,y,z$ relativno prosti, onda kažemo da je $(x,y,z)$ primitivna Pitagorina trojka. Takav trokut sukladno tome nazivljemo primitivni Pitagorin trokut. Uočimo da iz $M(x,y,z)=1$ slijedi da je $M(x,y)=M(x,z)=M(y,z)=1$.

Poznato je da je francuski matematičar i pravnik Pierre de Fermat u svojim radovima u vezi Fermatovog posljednjeg teorema koristio tzv. metodu beskonačnog spusta. U tim se radovima bavio i Pitagorinim trojkama jer su one zapravo rješenje Fermatove jednadžbe $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ za slučaj n = 2.

Euklidova formula

Euklidova formula je teorem koji daje jednostavnu formulu kojom se mogu generirati sve Pitagorine trojke. Teorem kaže da su sve Pitagorine trojke $(x,y,z)$ u kojima je $x$ paran, dane formulama $x=2mn,y=m^{2}-n^{2},z=m^{2}+n^{2}$, gdje je $m>n$ i $m,n$ relativno prosti prirodni brojevi različite parnosti.

Dokaz. Pretpostavimo da imamo primitivnu Pitagorinu trojku sa stranicama $x,y,z$. Tada je $M(x,y,z)=1$ i vrijedi $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ (1). (Trebaju biti sva tri međusobno relativno prosta jer da je npr. $M(x,y)=d>1$ iz (1) slijedilo bi da $d\vert z$.) Jasno je da ne mogu sva tri broja $x,y,z$ biti neparna, a očito ne može biti više od jednog parnog jer bi tada $x,y,z$ ne bi bili relativno prosti. Dakle, jedan od $x,y,z$ mora biti paran. Dokazat ćemo da je $z$ neparan. Naime, kada bi $z=2n$ bio paran, tada bi $x=2n_{1}+1,y=2n_{2}+1$ trebali biti neparni. No, onda bi iz (1) slijedilo da je lijeva strana jednakosti daje ostatak 2, a desna ostatak 0 pri dijeljenju s 4, što je kontradikcija. Dakle, $z$ je neparan te su $x,y$ različite parnosti.

Sada bez smanjenja općenitosti pretpostavimo da je $x$ paran. Zapišimo (1) u obliku $x^{2}=(z-y)(z+y)$ (2), gdje su $z-y,z+y$ oba parni, jer su očito iste parnosti, a na lijevoj strani je paran broj. Dakle, postoje $a,b,c\in \mathbb {N}$ takvi da $x=2u,z-y=2v,z+y=2w$. Uvrštavanjem u (2) dobije se $u^{2}=vw$. Pokažimo sada da su $v,w$ također relativno prosti. Kako $M(v,w)$ dijeli oba $v+w=z,v-w=y$ slijedi $M(v,w)\vert M(y,z)=1$ pa je $M(v,w)=1$. Odmah se vidi da, zbog toga što je $u^{2}=vw$ prema Osnovnom stavku aritmetike slijedi da su oba $v,w$ potpuni kvadrati pa postoje $m>m,m,n\in \mathbb {N}$ takvi da je $v=m^{2},w=n^{2}$. Kako je $M(v,w)=1$ slijedi da su i $m,n$ relativno prosti te odovuda slijedi $z=m^{2}+n^{2},y=m^{2}-n^{2}$. Zbog toga što su $z,y$ oba neparni jasno je da su $m,n$ različite parnosti. Iz (1) dobivamo da je $x^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}-(m^{2}-n^{2})^{2}=2mn.$

Valjda još dokazati da je za bilo koja dva relativno prosta prirodna broja $m,n$ trojka $(2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2})$ zapravo primitivna Pitagorina trojka. Očito je da $(2mn)^{2}+(m^{2}-n^{2})^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}$ vrijedi, dakle treba još samo pokazati da je $M(2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2})=1$. Pretpostavimo da postoji $d>1$ takav da $d\vert 2mn,d\vert m^{2}-n^{2}$. Kako je $m^{2}-n^{2}$ neparan vrijedi $d\neq 2k,k\in \mathbb {N}$ pa $d$ mora dijeliti točno jedan od $m,n$; neka BSO $d\vert m$. Tada $d\vert m^{2}-n^{2},d\vert m^{2}$ pa $d\vert n^{2}$ iz čega je $d\vert n$, što je kontradikcija.

Ovime smo pokazali valjanost Euklidove formule, odnosno da su sve Pitagorine trojke dane identitetom $(2dmn)^{2}+(d(m^{2}-n^{2}))^{2}=(d(m^{2}+n^{2}))^{2}$ na skupu prirodnih brojeva.

Povezanost s kompleksnim brojevima

Neka je $z=x+yi,x,y\in \mathbb {N}$. Tada vrijedi $z^{2}=x^{2}-y^{2}+2xyi$.

Stavimo $|x^{2}-y^{2}|=a,2|xy|=b$ pa ćemo imati: $a^{2}+b^{2}=(x^{2}-y^{2})^{2}+4x^{2}y^{2}=(x^{2}+y^{2})^{2}=c^{2}.$

I sada iz jednakosti $a=|x^{2}-y^{2}|,b=2xy,c=x^{2}+y^{2}$ za svaki $x,y\in \mathbb {N} ,x\neq y$ dobijemo jednu Pitagorinu trojku brojeva.

Napomena o ekvivalenciji

Samo na temelju definicije Pitagorine trojke nije očito da će rješavanje jednadžbe $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ u skupu prirodnih brojeva biti potpuno ekvivalentno traženju Pitagorinih trojki.

Naime, nije otklonjena mogućnost da ako je trojka $(x_{0},y_{0},z_{0})$ za $x_{0},y_{0},z_{0}\in \mathbb {N}$ rješenje jednadžbe (1), da uistinu postoji pravokutan trokut sa stranicama $x_{0},y_{0},z_{0}$.

Da bismo dokazali da za svaku trojku koja je rješenje jednadžbe (1) postoji takav pravokutan trokut dovoljno je pokazati da za bilo koju takvu trojku $(x_{0},y_{0},z_{0})$ vrijedi nejednakost trokuta, tj. da mora biti $x_{0}+y_{0}>z_{0},x_{0}+z_{0}>y_{0},y_{0}+z_{0}>x_{0}$ jer će tada biti moguće konstruirati pravokutan trokut sa stranicama $x_{0},y_{0},z_{0}$.

Treba uočiti da je jednadžba (1) ekvivalentna s $(x_{0}+y_{0})^{2}-2x_{0}y_{0}={z_{0}}^{2}$ iz čega slijedi $(x_{0}+y_{0})^{2}>{z_{0}}^{2}$ (jer je $2x_{0}y_{0}>0$) pa je očito $x_{0}+y_{0}>z_{0}.$ Analogno se pokazuju druge dvije nejednakosti.

Ovime je ekvivalencija dokazana, odnosno svaka trojka prirodnih brojeva $x_{0},y_{0},z_{0}$ koja zadovoljava $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ je ujedino i jedna Pitagorina trojka.