Kanonska kvantizacija

U fizici, kanonska kvantizacija postupak je kvantiziranja klasične teorije, uz što je najviše moguću brigu o očuvanju formalne strukture i simetrije početne teorije.

Povijesno gledano, ovako nije nastala kvantna mehanika Wernera Heisenberga i Erwina Schrödingera. Ovakav način formuliranja kvantne mehanike prvi je predstavio Paul Dirac u svojoj doktorskoj disertaciji iz 1926. godine. i detaljno opisao u svom klasičnom tekstu Principi kvantne mehanike.

Riječ kanonska proizlazi iz Hamiltonovog formalizma analitičke mehanike, u kojem je dinamika sustava, preko Poissonovih zagrada, određena Hamiltonovom funkcijom ${\mathcal {H}}$ koja predstavlja ukupnu energiju sustava.

Povijesni kontekst

Kada je prvi put razvijena, kvantna fizika bavila se samo kvantizacijom gibanja čestica. Nakon doktorske disertacije 1924 Louisa de Brogliea u kojoj opisuje tada radikalnu ideju o valnoj prirodi elektrona, te kako "sva materija ima valna svojstva" uslijedila je potraga za valnom jednadžbom koja opisuje gibanje čestica. Tu jednadžbu naravno, otkrio je Erwin Schrödinger 1925 godine ostavljajući elektromagnetsko polje klasičnim, otuda i naziv kvantna mehanika.

Kasnije je elektromagnetsko polje također kvantizirano, pa su čak i same čestice postale predstavljene kao inkarnacije sveprisutnih kvantnih polja, što je rezultiralo razvojem kvantne elektrodinamike (QED) i kvantne teorije polja općenito. Stoga se prema povijesnoj konvenciji izvorni oblik čestične kvantne mehanike označava kao prva kvantizacija, dok se kvantna teorija polja naziva kao druga kvantizacija.

Prva kvantizacija

Prva kvantizacija konstruira kvantnu mehaniku tako da nameće određenu izmjenu Hamiltonovoj formulaciji klasične mehanike. Ta izmjena se zapravo i zove kanonska kvantizacija.

Poćnimo od Hamiltonovih (kanonskih) jednadžbi gibanja:

$${\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {q}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}},\quad {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {p}}}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}$$

ovdje je ${\boldsymbol {q}}$ poopćena koordinata, ${\boldsymbol {p}}$ (kanonska) količina gibanja, a ${\mathcal {H}}$ Hamiltonova funkcija.

Poissonove zagrade definiraju se kao:

$${\displaystyle \{f,g\}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right)}$$

gdje su $f$ i $g$ općenito neke glatke funkcije.

Nazvane su po francuskom matematičaru Siméonu Denisu Poissonu.

Sada, ukoliko želimo razmotriti dinamiku sustava, moramo vidjeti kako se on razvija u vremenu. Stoga se radi totalni diferencijal funkcije $f(p,q,t)$

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(p,q,t)={\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {dq}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {dp}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}.}$$

Hamiltonove jednadžbe se mogu kompaktno zapisati pomoću Poissonovih zagrada kao:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dq}{dt}}&={\frac {\partial H}{\partial p}}=\{q,H\},\\{\frac {dp}{dt}}&=-{\frac {\partial H}{\partial q}}=\{p,H\}.\end{aligned}}}$$

Pomoću tako zapisanih Hamiltonovih jednadžbi, možemo totalnu derivaciju zapisati kao

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}f(p,q,t)&={\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {\partial H}{\partial p}}-{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {\partial H}{\partial q}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}\\&=\{f,H\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}~.\end{aligned}}}$$

Ovo je jedna od formulacija klasične mehanike, u kojoj se vidi kako cijelom vremenskom evolucijom sustava upravlja Hamiltonova funkcija. Ovo je vrlo apstraktni zapis klasične mehanike, ekvivalentan je dobro poznatom drugom Newtonovom zakonu mehanike, no sada, uz jednu vrlo "malu" izmjenu, možemo od klasične mehanike dobiti kvantnu mehaniku i valnu jednadžbu kvantne mehanike.

Ta "mala" izmjena je kanonska kvantizacija:

$${\displaystyle \{f,{\mathcal {H}}\}\longmapsto {\tfrac {1}{i\hbar }}[{\hat {f}},{\hat {\mathcal {H}}}]~.}$$

gdje smo od Poissonovih zagrada kvantne mehanike dobili komutatore kvantne mehanike, te pomnožili smo naše zagrade s članom ${\tfrac {1}{i\hbar }}$ koji je nužan kako bi dobili ispravnu teoriju koja se točno poklapa s eksperimentima i očitanjima stvarnosti. Naše funkcije se također pretvaraju u operatore, što se indicira s cirkumfleksom iznad slova.

Sada smo dobili Heisenbergovu jednadžbu gibanja:

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f_{\text{H}}(t)={\frac {i}{\hbar }}[H_{\text{H}}(t),f_{\text{H}}(t)]+\left({\frac {\partial f_{\text{S}}}{\partial t}}\right)_{\text{H}}}$$

Ova jednadžba opisuje kvantnu mehaniku i pomoću nje i svojeg matričnog računa prvi je napravio neku matematičku teoriju kvantne mehanike.

Ovakva formulacija kvantne mehanike, u kojoj su vektori stanja ${\displaystyle |\psi \rangle }$ neovisni o vremenu, dok su mjerljive veličine, odnosno njihovi operatori, ovisne o vremenu zove se Heisenbergova slika.

Heisenbergova slika ekvivalentna je Schrodingerovoj slici u kojoj su vektori stanja ovisni o vremenu , ${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$, a operatori su konstantni (iznimka je ukoliko potencijalna energija Hamiltonovog operatora mijenja svoju vrijednost).

Schrodingerova slika opisana je Schrodingerovom jednadžbom:

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\vert \Psi \rangle ={\hat {H}}\vert \Psi \rangle }$$

Također, iz relacije kanonske kvantizacije, vrlo lako se dobije Heisenbergovo načelo neodređenosti, te se kanonska kvantizacija može shvatiti kao središnji aspekt koji čini kvantnu mehaniku kvantnom i dijeli ju od klasične mehanike.