Kvantno stanje

U fizici, točnije kvantnoj mehanici, kvantno stanje jest matematički entitet koji utjelovljuje svo moguće znanje određenog kvantnog sustava. Kvantna mehanika specificira konstrukciju, evoluciju i mjerenje kvantnog stanja. Rezultat mjerenja jest predviđanje za sustav koji je opisan pripadajućim kvantnim stanjem. Poznavanje kvantnog stanja i pravila evolucije sustava u vremenu iscrpljuje sve što se može znati o kvantnom sustavu.

Kao alat za fiziku, kvantna stanja su izrasla iz stanja u klasičnoj mehanici. Klasično stanje sustava sastoji se od skupa dinamičkih varijabli s dobro definiranim stvarnim vrijednostima u svakom trenutku vremena.  Na primjer, stanje topovske kugle sastojalo bi se od njenog položaja i brzine.

Valne funkcije

Valne funkcije opisuju stanje kvantnog sustava. Najčešći simbol za valnu funkciju je grčko slovo $\psi$ psi. Valne funkcije su funkcije kompleksne varijable. Na primjer, valna funkcija može dodijeliti kompleksni broj svakoj točki prostoru. Bornovo pravilo pruža način za pretvaranje ovih složenih kompleksnih funkcija u funkcije gustoće vjerojatnosti. U jednom uobičajenom obliku, kaže da je kvadrat modula valne funkcije koji ovisi o položaju jednak gustoći vjerojatnosti mjerenja da se čestica nalazi na danom mjestu.

Također, kvantna stanja mogu se opisati pomoću vektora u određenom vektorskom prostoru, odnosno stanja se mogu opisati kao jedinični vektori u kompleksnom vektorskom prostoru ${\mathcal {H}}$, Hilbertovom prostoru. Te tako se valna funkcija može opisati pomoću ket vektora $|\psi \rangle$, prateći Diracovu bra-ket notaciju.

Fizikalno mjerljiva distinktna stanja opisana su s ortonormalnim vektorima. Koliko mjerljivo različitih stanja sustav može ima, toliko različitih baznih vektora ima prostor ${\mathcal {H}}$. Distinktna stanja su ona koja se mogu jednoznačno odrediti i razlikovati mjerenjem sustava.

Diskretna stanja

Diskretna stanja opisana su pomoću konačnodimenzionalnog Hilbertovog prostora.

Primjer sustava s dva stanja jest sustav kod kojeg se ne mari za poziciju ili količinu gibanja čestice, nego se promatra samo opisivanje njezinog spina.

Čestice sa spin brojem $s={\frac {1}{2}}$, fermioni, čestice koje tvore materiju (elektroni, protoni, neutino) mogu biti u samo dva stanja $|+\rangle$ i $|-\rangle$. Ta stanja opisana su ortonormalnim vektorima u ${\mathcal {H}}$. Također, ta stanja su svojstveni vektori operatora spina $S_{z}$.

Općenito, sustav može biti u superpoziciji baznih stanja. Tako, stanje tog sustava može se opisati linearnom superpozicijom dvaju baznih vektora, koju razapinju Hilbertov prostor:

$$|\psi \rangle =c_{+{\frac {1}{2}}}|+\rangle +c_{-{\frac {1}{2}}}|-\rangle$$

koeficijenti $c_{+{\frac {1}{2}}}$ i $c_{-{\frac {1}{2}}}$ su kompleksni brojevi koji određuju amplitudu vjerojatnosti da će se sustav naći u jednom od stanja $|+\rangle$ ili $|-\rangle$ prilikom mjerenja.

Svaki sustav koji je opisan dvodimenzionalnim Hilbertovim prostom matematički predstavlja kubit.

Kontinuirana stanja

U određenom trenutku vremena sve vrijednosti valne funkcije $\Psi (x,t)$ su komponente vektora. Ima ih nebrojeno beskonačno mnogo i integracija se koristi umjesto zbrajanja:

$${|\Psi (t)\rangle =\int \Psi (x,t)|x\rangle dx}$$

Slobodna čestica

Valna funkcija za slobodnu česticu u jednoj dimenziji s određenom količinom gibanja jest

$$\psi (x,t)=Ae^{i(kx-\omega t)}$$

ovdje je $k={\frac {p}{\hbar }}$ , $\omega ={\frac {E}{\hbar }}$ je kružna frekvencija, a $A$ je normalizacijska konstanta.

Bornovo pravilo

Ukoliko fizikalna veličina koja je predstavljena linearnim operatorom ${\hat {A}}$ ima kontinuirani spektar svojstvenih vrijednosti $|a\rangle$, tada je funkcija gustoća vjerojatnosti mjerenja $a$ dana kao:

$$\rho (a)=|\langle a|\psi \rangle |^{2}.$$

gdje $|\langle |\rangle |$ predstavlja unutarnji produkt (poopćenje skalarnog produkta).

Vjerojatnost dobivanja mjerenja u intervalu $[a,a+da]$ je:

$P(a)da=|\langle a|\psi \rangle |^{2}da.$

Budući da ukupna vjerojatnost mora biti $1$, valna funkcija zadovoljava:

$\int _{-\infty }^{\infty }|\langle a|\psi \rangle |^{2}da=1.$

Onda vjerojatnost se dobiva integriranjem funkcije gustoće vjerojatnosti

$P(a_{1}\leq a\leq a_{2})=\int _{a_{1}}^{a_{2}}|\langle a|\psi \rangle |^{2}da$

Mjerenje položaja ${\hat {x}}$:

Gustoća vjerojatnosti mjerenja određene mjerljive veličine jednaka je kvadridanom modulu te veličine s valnom funkcijom.

Općenito za $3D$ slučaj vrijedi da je funkcija gustoće vjerojatnosti:

${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)=|\langle r|\psi \rangle |^{2}=\psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t)=|\psi (\mathbf {r} ,t)|^{2},}$

Za $1D$ slučaj dobivamo

$\rho (x)=|\psi (x)|^{2},\quad {\text{gdje je }}\psi (x)=\langle x|\psi \rangle .$

Vjerojatnost pronalaska čestice u $[x,x+dx]$ je: $P(x)dx=|\psi (x)|^{2}dx.$

To znači da je vjerojatnost mjerenja čestice u intervalu $[a,b]$:

$P(a\leq x\leq b)=\int _{a}^{b}|\psi (x)|^{2}\,dx$

Budući da ukupna vjerojatnost mora biti 1, valna funkcija $\psi (x)$ mora zadovoljiti uvjet normalizacije:

$\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (x)|^{2}\,dx=1$