Funkcijska jednadžba, vrsta je jednadžbi gdje se ne traži neka nepoznata veličina, na primjer x, već se traži nepoznata funkcija koja udovoljava nekom traženom uvjetu. Ova vrsta jednadžbi ne može se jednostavno svesti i riješiti kao algebarska jednadžba.
Linearna funkcijska jednadžba s jednom nezavisne varijable
[uredi | uredi kôd]
Kada su različite funkcije u linearnom odnosu, tada govorimo o linearnoj funkcijskoj jednadžbi koja može biti, na primjer, oblika:
![{\displaystyle y(ax)-by(x)=0.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ac3fa9705eed2e101c9076ef8f029c5fcce2e85)
Linearna funkcijska jednadžba s dvjema nezavisnim varijablama
[uredi | uredi kôd]
Linearna funkcijska jednadžba s dvjema nezavisnim varijablama je na primjer:
![{\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y),\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f59ba264d5aba3d9c6ed026dc8901f95c0d2196a)
čije je opće rješenje funkcija:
ili
- Cauchyeva logaritamska jednadžba:
![{\displaystyle f(xy)=f(x)+f(y),\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/892577200f2be4137bab19b5a8f8c81c648c600b)
čije je opće rješenje
Treba naći sve funkcije
takve da vrijedi
i
za sve
.
Rješenje. Uvrštavajući
dobije se
iz čega slijedi
. No, onda mora biti
. Sada uvrštavajući
dobije se
što znači da je
.
Kako vrijedi
slijedi
. Lako je provjeriti da ta funkcija zaista zadovoljava početnu jednadžbu.
Nelinearna funkcijska jednadžba s jednom nezavisnom varijablom
[uredi | uredi kôd]
Nelinearna funkcijska jednadžba s jednom nezavisnom varijablom je na primjer:
![{\displaystyle f(2x)-af^{2}(x)=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2b91c96b8be27fc4f395f1a2f0d6d3d26485fda)
čije je opće rješenje funkcija
![{\displaystyle f(x)={\frac {1}{a}}e^{(Cx)}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce220ebad3acd2468badbc62bf3b46ce5ab1e18c)
Nelinearna funkcijska jednadžba s dvjema nezavisnim varijablama
[uredi | uredi kôd]
Nelinearna funkcijska jednadžba s dvjema nezavisnim varijablama je na primjer:
Cauchyeva eksponencijalna jednadžba:
![{\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y),\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df9b9da3868bcd304bf1e0437e82458a4e9442cc)
čije je rješenje funkcija:
Treba naći sve
takve da vrijedi
za sve
.
Rješenje. Uvrštavajući
dobivamo
.
Uvrstimo
, dobivamo
, odnosno
.
Sada možemo u početnu jednadžbu uvrstiti
takav da je
i onda imamo
što povlači
. Nije teško provjeriti da to jest rješenje početne jednažbe.