Cauchyjeve funkcijske jednadžbe smatraju se najvažnijim funkcijskim jednadžbama . Nazvane su prema francuskom matematičaru Augustinu Louisu Cauchyu .
Postoje četiri tipa Cauchyjevih funkcijskih jednadžbi: aditivna, multiplikativna, eksponencijalna
i logaritamska.[ 1]
f
(
x
+
y
)
=
f
(
x
)
+
f
(
y
)
{\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}
f
:
Q
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {Q} \rightarrow \mathbb {R} }
Treba naći sve funkcije
f
:
Q
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {Q} \rightarrow \mathbb {R} }
f
(
x
+
y
)
=
f
(
x
)
+
f
(
y
)
{\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}
x
,
y
∈
Q
{\displaystyle x,y\in \mathbb {Q} }
Rješenje.
Uvrštavanjem
y
=
0
{\displaystyle y=0}
f
(
x
)
=
f
(
x
)
+
f
(
0
)
{\displaystyle f(x)=f(x)+f(0)}
f
(
0
)
=
0
{\displaystyle f(0)=0}
y
=
−
x
{\displaystyle y=-x}
f
(
0
)
=
0
=
f
(
x
)
+
f
(
−
x
)
{\displaystyle f(0)=0=f(x)+f(-x)}
f
(
−
x
)
=
−
f
(
x
)
{\displaystyle f(-x)=-f(x)}
neparne funkcije .
Neka je sada
f
(
1
)
=
c
{\displaystyle f(1)=c}
f
(
n
x
)
=
f
(
x
+
x
+
.
.
.
+
x
)
(n puta)
.
{\displaystyle f(nx)=f(x+x+...+x)\ {\text{(n puta)}}.}
f
(
n
x
)
=
f
(
x
)
+
f
(
x
)
+
.
.
.
+
f
(
x
)
(n puta)
.
{\displaystyle f(nx)=f(x)+f(x)+...+f(x)\ {\text{(n puta)}}.}
f
(
n
x
)
=
n
f
(
x
)
{\displaystyle f(nx)=nf(x)}
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
f
(
n
m
x
)
=
f
(
n
x
)
m
=
n
m
f
(
x
)
{\displaystyle f({\frac {n}{m}}x)={\frac {f(nx)}{m}}={\frac {n}{m}}f(x)}
n
,
m
∈
Q
+
{\displaystyle n,m\in \mathbb {Q} ^{+}}
No, to znači da je
f
(
q
)
=
q
f
(
1
)
=
q
c
{\displaystyle f(q)=qf(1)=qc}
q
∈
Q
{\displaystyle q\in \mathbb {Q} }
Provjerom se lako vidi da to zaista jest rješenje.
Osim aditivne postoje i multiplikativna, eksponencijalna i logaritamska funkcijska jednadžba.
One glase ovako.
multiplikativna:
f
(
x
y
)
=
f
(
x
)
f
(
y
)
{\displaystyle f(xy)=f(x)f(y)}
eksponencijalna:
f
(
x
+
y
)
=
f
(
x
)
f
(
y
)
{\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)}
logaritamska:
f
(
x
y
)
=
f
(
x
)
+
f
(
y
)
{\displaystyle f(xy)=f(x)+f(y)}
