Prijeđi na sadržaj

Aksiomi Kolmogorova

Izvor: Wikipedija

Aksiomi Kolmogorova ili aksiomi vjerojatnosti temelj su suvremene teorije vjerojatnosti koje je uveo čuveni ruski matematičar Andrej Kolmogorov u svojim radovima 1933. godine.[1]

Prvi opis ovih aksioma može se naći u knjizi Opća teorija mjere i teorija vjerojatnosti iz 1929. Četiri godine kasnije, 1933., Kolmogorov je svoje aksiome formalno uveo u djelu Osnove teorije vjerojatnosti.[2]

Aksiomi

[uredi | uredi kôd]

Neka je izmjeriv prostor. Funkcija jest vjerojatnost (na , na ) ako vrijedi:

  • za svaki događaj (nenegativnost vjerojatnosti),
  • (normiranost vjerojatnosti),
  • i za povlači (σ-aditivnost ili prebrojiva aditivnost vjerojatnosti).

Uređena trojka gdje je σ-algebra na nepraznom skupu i vjerojatnost na , zove se vjerojatnosni prostor. Elemente σ-algebre zovemo događaji, a za broj zovemo vjerojatnost događaja .[3]

Posljedice

[uredi | uredi kôd]

Iz Kolmogorovljevih aksioma slijedi niz korisnih svojstava vjerojatnosti. Dokazi ovih svojstava dobro ilustriraju moć trećega aksioma.

Monotonost vjerojatnosti

[uredi | uredi kôd]

Ako je A podskup od B, tada je vjerojatnost od A manja ili jednaka od vjerojatnosti od B.

Dokaz monotonosti vjerojatnosti

[uredi | uredi kôd]

Neka su i , gdje je i za . Iz svojstava praznoga skupa (), lako se vidi da su u parovima disjunktni i . Dakle, iz trećega aksioma slijedi da je

Po prvome aksiomu, lijeva strana jednakosti je niz nenegativnih realnih brojeva, a kako teži u slijedi i .

Vjerojatnost praznog skupa

[uredi | uredi kôd]

Često, nije jedini događaj s vjerojatnošću  0.

Dokaz vjerojatnosti praznog skupa

[uredi | uredi kôd]

jer je ,

koristeći treći aksiom na lijevoj strani jednakosti i uzevši u obzir da je disjunktan sa samim sobom dobije se

oduzimanjem od obje strane jednadžbe.

Pravilo komplementa

[uredi | uredi kôd]

Dokaz pravila komplementa

[uredi | uredi kôd]

Kako su i međusobno isključivi i kako je :

(po trećemu aksiomu)

i, (po drugome aksiomu)

pa je konačno .

Izvori

[uredi | uredi kôd]
  1. Kolmogorovljevi aksiomi
  2. Foundations of the theory of probability
  3. Nikola Sarapa, Teorija vjerojatnosti, Školska knjiga, Zagreb, 1992.