Aksiomi Kolmogorova ili aksiomi vjerojatnosti temelj su suvremene teorije vjerojatnosti koje je uveo čuveni ruski matematičar Andrej Kolmogorov u svojim radovima 1933. godine.[1]
Prvi opis ovih aksioma može se naći u knjizi Opća teorija mjere i teorija vjerojatnosti iz 1929. Četiri godine kasnije, 1933., Kolmogorov je svoje aksiome formalno uveo u djelu Osnove teorije vjerojatnosti.[2]
Neka je izmjeriv prostor. Funkcija jest vjerojatnost (na , na ) ako vrijedi:
- za svaki događaj (nenegativnost vjerojatnosti),
- (normiranost vjerojatnosti),
- i za povlači (σ-aditivnost ili prebrojiva aditivnost vjerojatnosti).
Uređena trojka gdje je σ-algebra na nepraznom skupu i
vjerojatnost na , zove se vjerojatnosni prostor. Elemente σ-algebre zovemo događaji, a za broj zovemo vjerojatnost događaja .[3]
Iz Kolmogorovljevih aksioma slijedi niz korisnih svojstava vjerojatnosti. Dokazi ovih svojstava dobro ilustriraju moć trećega aksioma.
Ako je A podskup od B, tada je vjerojatnost od A manja ili jednaka od vjerojatnosti od B.
Neka su i , gdje je i za . Iz svojstava praznoga skupa (), lako se vidi da su u parovima disjunktni i . Dakle, iz trećega aksioma slijedi da je
Po prvome aksiomu, lijeva strana jednakosti je niz nenegativnih realnih brojeva, a kako teži u slijedi i .
Često, nije jedini događaj s vjerojatnošću 0.
jer je ,
koristeći treći aksiom na lijevoj strani jednakosti i uzevši u obzir da je disjunktan sa samim sobom dobije se
oduzimanjem od obje strane jednadžbe.
Kako su i međusobno isključivi i kako je :
(po trećemu aksiomu)
i, (po drugome aksiomu)
pa je konačno .