Algebra skupova

Algebra skupova neprazna je sveukupnost podskupova nekoga skupa $\Omega$ zatvorena u odnosu na konačan broj operacija na njima.

Formalno, Familija ${\mathcal {A}}$ podskupova od $\Omega$ (${\mathcal {A}}$ $\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )$ jest algebra skupova (na $\Omega$) ili, kraće, algebra, ako vrijede sljedeća tri svojstva:

• (A1) $\emptyset \in {\mathcal {A}}$,
• (A2) $A,B\in {\mathcal {A}}\implies A\cup B\in {\mathcal {A}}$,
• (A3) $A\in {\mathcal {A}}\implies A^{\mathsf {c}}\in {\mathcal {A}}$ (zatvorenost na komplementiranje), gdje je $A^{\mathsf {c}}=\Omega \setminus A$.

Direktne posljedice ove definicije su te da je:

• $\Omega \in {\mathcal {A}}$,
• $A,B\in {\mathcal {A}}\implies A\cap B\in {\mathcal {A}}$ te
• $A,B\in {\mathcal {A}}\implies A\setminus B\in {\mathcal {A}}$.
• Konačno, indukcijom se dobije da iz zatvorenosti na dvočlane unije i presjeke redom slijedi zatvorenost na konačne unije i presjeke, odnosno da za $n\in \mathbb {N}$ iz $A_{1},...,A_{n}\in {\mathcal {A}}$ slijedi

$\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\in {\mathcal {A}}$ i slično $\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}\in {\mathcal {A}}$.

Primjeri

»Najmanja« i »najveća« algebra (u smislu inkluzije) na $\Omega$ jest $\{\emptyset ,\Omega \}$, odnosno ${\mathcal {P}}(\Omega )$. Te algebre nazivamo trivijalnim. Također, za proizvoljan $A\subseteq \Omega$ familija $\{\emptyset ,\Omega ,A,A^{\mathsf {c}}\}$ je algebra. Primjer familije koja nije algebra za, recimo, $\Omega =\{1,2\}$ jest $\{\emptyset ,\Omega ,\{1\}\}$ jer ne sadrži $\{1\}^{\mathsf {c}}=\{2\}$.

Nešto složeniji primjer algebre je ${\mathcal {A}}=\{A\ {\text{konačan ili}}\ A^{\mathsf {c}}\ {\text{konačan}}\}$. Naime, valja provjeriti tri definirajuća svojstva algebre:

• $\emptyset \in {\mathcal {A}}$ jer je prazan skup $\emptyset$ konačan.
• $A,B\in {\mathcal {A}}$. Tvrdimo da je tada $A\cup B\in {\mathcal {A}}$. Postoje četiri mogućnosti:

$A,B$ konačni. Tada je $A\cup B$ konačan skup pa je $A\cup B\in {\mathcal {A}}$.

$A$ konačan, $B^{\mathsf {c}}$ konačan. Tada je $(A\cup B)^{\mathsf {c}}=A^{\mathsf {c}}\cap B^{\mathsf {c}}\subseteq B^{\mathsf {c}}$ konačan pa je zaista $A\cup B\in {\mathcal {A}}$. Analogno se provjere slučajevi kada je $A^{\mathsf {c}}$ konačan i $B$ konačan, odnosno kada je $A^{\mathsf {c}}$ konačan i $B^{\mathsf {c}}$ konačan.

• Za $A\in {\mathcal {A}}$ vrijedi $A^{\mathsf {c}}\in {\mathcal {A}}$, što se lako provjeri.

Općeniti slučaj: $\sigma$-algebra

Neka je $\Omega \neq \emptyset$ i neka je ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )$. Kažemo da je ${\mathcal {F}}$ $\sigma$-algebra skupova (kraće, $\sigma$-algebra) ako vrijede sljedeća tri svojstva:

• (F1) $\emptyset \in {\mathcal {F}}$-algebra,
• (F2) Za niz $(A_{n})$ u ${\mathcal {F}}$ vrijedi $\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {F}}$ (zatvorenost na prebrojive unije),
• (F3) Za $A\in {\mathcal {F}}$ vrijedi $A^{\mathsf {c}}\in {\mathcal {F}}$.

Treba uočiti da zatvorenost na prebrojive unije povlači zatvorenost na dvočlane unije pa je svaka $\sigma$-algebra ujedno i algebra, dok obrat ne vrijedi. Gore je dokazano da je ${\mathcal {A}}=\{A\subseteq \mathbb {R} |A\ {\text{konačan ili}}\ A^{\mathsf {c}}\ {\text{konačan}}\}$ algebra. Neka je $A_{n}:=\{n\}$ za $n\in \mathbb {N}$. Tada je očito $A_{n}\in {\mathcal {A}},\forall n\in \mathbb {N}$ (jer su svi $A_{n}$ konačni), ali $\bigcup _{n=1}^{\infty }=\mathbb {N} \notin {\mathcal {A}}$. Prema tome, svaka $\sigma$-algebra je algebra, ali općenito nije svaka algebra $\sigma$-algebra. Ipak, kada je $\Omega$ konačan, tada se prebrojiva unija svodi na konačnu pa je u tom slučaju algebra ujedno i $\sigma$-algebra.

Slično kao prije, »najmanja« i »najveća« $\sigma$-algebra (u smislu inkluzije) na $\Omega$ jest $\{\emptyset ,\Omega \}$, odnosno ${\mathcal {P}}(\Omega )$. Također, za proizvoljan $A\subseteq \Omega$ familija $\{\emptyset ,\Omega ,A,A^{\mathsf {c}}\}$ je $\sigma$-algebra. Također, familija ${\mathcal {F}}=\{A\subseteq \mathbb {R} |A\ {\text{prebrojiv ili}}\ A^{\mathsf {c}}\ {\text{prebrojiv}}\}$ je $\sigma$-algebra.

Generirana $\sigma$-algebra

Za proizvoljnu familiju ${\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {P}}({\mathcal {\Omega }})$ definiramo $\sigma$-algebru generiranu s ${\mathcal {C}}$ kao $\sigma ({\mathcal {C}})=\bigcap _{{\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {F}}\ \sigma {\text{-algebra}}}{\mathcal {F}}$. Dakle, $\sigma ({\mathcal {C}})$ je presjek svih $\sigma$-algebri koje sadrže ${\mathcal {C}}$ kao svoj podskup. Lako se dokaže da je $\sigma ({\mathcal {C}})$ dobro definirana te da vrijedi ${\mathcal {C}}\subseteq \sigma ({\mathcal {C}})$, $\sigma ({\mathcal {C}})\subseteq {\mathcal {G}}$ za svaku $\sigma$-algebru ${\mathcal {G}}$ koja sadrži ${\mathcal {C}}$. Dakle, $\sigma ({\mathcal {C}})$ je, u smislu podskupovnosti, »najmanja« $\sigma$-algebra na $\Omega$ koja sadrži ${\mathcal {C}}$.