Razgovor:Vektorski produkt

Nek netko ovo stavi na vektorski produkt, meni ne da

Pravilo desne ruke određuje orijentaciju vektorskog produkta

Iznos vektorskog produkta dvaju vektora jednak je površini paralelograma kojeg razapinju

Vektorski produkt (rjeđe vektorski umnožak) je binarna matematička operacija na dva vektora u euklidskom trodimenzionalnom prostoru. Označava se simbolom ×. Za dva linearno nezavisna vektora ${\overrightarrow {a}}$ i ${\overrightarrow {b}}$, njihov vektorski produkt ${\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}$ je vektor koji je okomit na oba vektora (normala na ravninu koju ti vektori razapinju), a njegov iznos je jednak površini paralelograma kojeg ta dva vektora razapinju. Orijentaciju vektora daje nam pravilo desne ruke. U slučaju da vektori ${\overrightarrow {a}}$ i ${\overrightarrow {b}}$ nisu linearno nezavisni (dakle jedan je linearna kombinacija drugoga, odnosno imaju isti smjer), njihov vektorski produkt je nul-vektor.

Formalna definicija

Vektorski produkt se definira kao operacija $\times :(E^{3},E^{3})\rightarrow E^{3}$ za koju vrijedi

${\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}=(|{\overrightarrow {a}}|\times |{\overrightarrow {b}}|\sin \theta ){\overrightarrow {n}}$

gdje su ${\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}}\in E^{3},$ $\theta$ kut između dvaju vektora, a ${\overrightarrow {n}}$ vektor okomit na vektore ${\overrightarrow {a}}$ i ${\overrightarrow {b}}$.

Definira se i pomoću determinante:

${\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}={\begin{vmatrix}{\overrightarrow {i}}&{\overrightarrow {j}}&{\overrightarrow {k}}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}=$

$={\overrightarrow {i}}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})-{\overrightarrow {j}}(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})+{\overrightarrow {k}}(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})=$ ${\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{pmatrix}}$

gdje su ${\overrightarrow {i}}=(1,0,0)$, ${\overrightarrow {j}}=(0,1,0)$ i :${\overrightarrow {k}}=(0,0,1)$ vektori kanonske baze trodimenzionalnog euklidskog vektorskog prostora, E³.

Svojstva

• Iznos vektorskog produkta dvaju vektora je površina paralelograma razapetog tim vektorima

$|{\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}|=|{\overrightarrow {a}}||{\overrightarrow {b}}||\sin \theta |$

• Vektorski produkt vektora samog sa sobom je nul-vektor.

${\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {a}}={\overrightarrow {0}}$

• Vektorski produkt okomit je na oba vektora koji ga čine
• Antikomutativan je

${\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}=-({\overrightarrow {b}}\times {\overrightarrow {a}})$

• Distributivan je prema zbrajanju

${\overrightarrow {a}}\times ({\overrightarrow {b}}+{\overrightarrow {c}})=({\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}})+({\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {c}})$

• Za množenje skalarom vrijedi:

$(\alpha \cdot {\overrightarrow {a}})\times {\overrightarrow {b}}={\overrightarrow {a}}\times (\alpha \cdot {\overrightarrow {b}})=\alpha \cdot ({\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}})$

• Nije asocijativan
• Ne može se kratiti, tj. ako vrijedi ${\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}={\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {c}}$ i ${\overrightarrow {a}}\neq {\overrightarrow {0}}$, ne slijedi ${\overrightarrow {b}}={\overrightarrow {c}}$, nego samo ${\overrightarrow {a}}\times ({\overrightarrow {b}}-{\overrightarrow {c}})={\overrightarrow {0}}$ kroz distributivnost prema zbrajanju. Ta jednakost može biti zadovoljena ako su vektori ${\overrightarrow {b}}$ i ${\overrightarrow {c}}$ jednaki, ali i ako su ${\overrightarrow {a}}$ i ${\overrightarrow {b}}-{\overrightarrow {c}}$ paralelni, tj. linearna kombinacija jedan drugoga.

Također pogledati

• Skalarni produkt
• Mješoviti produkt