Ptolomejev poučak daje vezu između duljina stranica tetivnog četverokuta:
A
C
⋅
B
D
=
A
B
⋅
C
D
+
B
C
⋅
A
D
{\displaystyle \definecolor {V}{rgb}{0.5803921568627451,0,0.8274509803921568}\definecolor {B}{rgb}{0,0,1}\definecolor {R}{rgb}{0.8,0,0}{\color {V}AC}\cdot {\color {V}BD}={\color {B}AB}\cdot {\color {B}CD}+{\color {R}BC}\cdot {\color {R}AD}}
Ptolemejev ili Ptolomejev poučak teorem je u euklidskoj geometriji koji daje nužan uvjet da bio četverokut bio tetivan (cikličan), tj. da bi se oko njega mogla opisati kružnica .
Teorem je koristio starogrčki matematičar Klaudije Ptolomej u svome djelu Almagest u kojem je priredio tablice tetiva od 0.5° do 180° s razmakom od pola stupnja.
Iskaz teorema glasi ovako: U svakom tetivnom četverokutu zbroj umnožaka duljina nasuprotnih stranica jednak je umnošku duljina dijagonala .[ 1]
Odnosno, ako je četverokut
A
B
C
D
{\displaystyle ABCD}
|
A
C
|
⋅
|
B
D
|
=
|
A
B
|
⋅
|
C
D
|
+
|
B
C
|
⋅
|
A
D
|
{\displaystyle |AC|\cdot |BD|=|AB|\cdot |CD|+|BC|\cdot |AD|}
Obrat Ptolomejeva poučka također vrijedi.
Animirani vizualni dokaz Ptolomejeva poučka. Konstruirajno kut
∢
A
D
E
{\displaystyle \sphericalangle ADE}
∢
B
D
C
{\displaystyle \sphericalangle BDC}
Kako su
∢
D
A
E
{\displaystyle \sphericalangle DAE}
∢
D
B
C
{\displaystyle \sphericalangle DBC}
Δ
A
E
D
{\displaystyle \Delta AED}
Δ
B
C
D
{\displaystyle \Delta BCD}
|
A
D
|
:
|
A
E
|
=
|
B
D
|
:
|
B
C
|
{\displaystyle |AD|:|AE|=|BD|:|BC|}
|
A
D
|
⋅
|
B
C
|
=
|
A
E
|
⋅
|
B
D
|
{\displaystyle |AD|\cdot |BC|=|AE|\cdot |BD|}
Na isti se način dobije da su trokuti
Δ
A
B
D
{\displaystyle \Delta ABD}
Δ
C
D
E
{\displaystyle \Delta CDE}
|
A
B
|
:
|
B
D
|
=
|
C
E
|
:
|
C
D
|
{\displaystyle |AB|:|BD|=|CE|:|CD|}
|
A
B
|
⋅
|
C
D
|
=
|
B
D
|
⋅
|
C
E
|
{\displaystyle |AB|\cdot |CD|=|BD|\cdot |CE|}
Zbrajanjem tih dviju jednakosti imamo:
|
A
B
|
⋅
|
C
D
|
+
|
A
D
|
⋅
|
B
C
|
=
|
B
D
|
⋅
|
C
E
|
+
|
A
E
|
⋅
|
B
D
|
,
{\displaystyle |AB|\cdot |CD|+|AD|\cdot |BC|=|BD|\cdot |CE|+|AE|\cdot |BD|,}
|
A
E
|
+
|
C
E
|
=
|
A
C
|
⋅
|
B
D
|
{\displaystyle |AE|+|CE|=|AC|\cdot |BD|}
|
A
B
|
⋅
|
C
D
|
+
|
A
D
|
⋅
|
B
C
|
=
|
A
C
|
⋅
|
B
D
|
,
{\displaystyle |AB|\cdot |CD|+|AD|\cdot |BC|=|AC|\cdot |BD|,}
[ 2]
Ako pak tetivni četverokut nije jednostavan, tada će
E
{\displaystyle E}
A
C
{\displaystyle AC}
|
A
E
|
−
|
C
E
|
=
±
|
A
C
|
{\displaystyle |AE|-|CE|=\pm |AC|}
Općenitija tvrdnja koja vrijedi samo za tetivne četverokute naziva se Ptolomejeva nejednakost , a ona glasi ovako: za dani četverokut
A
B
C
D
{\displaystyle ABCD}
A
B
¯
⋅
C
D
¯
+
B
C
¯
⋅
D
A
¯
≥
A
C
¯
⋅
B
D
¯
{\displaystyle {\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {DA}}\geq {\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}}
Jednakost vrijedi ako i samo ako je četverokut tetivni (ciklični) pa je ovaj poseban slučaj ekvivalentan Ptolomejevu poučku.
↑ Sanja Hršak, Ptolomejev teorem - dokazi, posljedice i poopćenja, Zagreb, 2018.
↑ Branimir Dakić, Neven Elezović, Udžbenik i zbirka zadataka za 1. razred gimnazija i tehničkih škola 2. dio, Element, Zagreb, 2014.
.gif)
