Osnovni teorem o racionalnim nultočkama je jedan od temeljnih teorema u algebri.
Tvrdi da ako su
relativno prosti brojevi i ako je
jedna nultočka polinoma
s cjelobrojnim koeficijentima
tada
te
.[1]
Uočimo da je lako vidjeti da je tvrdnja teorema istinita ako je
, tj. ako polinom ima cjelobrojnu nultočku
jer tada će očito
dijeliti slobodni član
, a uvjet
trivijalno je zadovoljen.
Neka imamo polinom
s koeficijentima
Pretpostavimo da je
nultočka polinoma
, tj. da je
za neka dva relativno prosta broja
.
Dakle, vrijedi
![{\displaystyle P\left({\tfrac {p}{q}}\right)=a_{n}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n}+a_{n-1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n-1}+\cdots +a_{1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)+a_{0}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b85627b24866462faa1dd837ff7228aa9ca4e07e)
Pomnožimo obje strane jednakosti s
. Dobivamo
![{\displaystyle a_{n}p^{n}+a_{n-1}p^{n-1}q+\cdots +a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^{n}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bd75a4fb9d32949478e4f3461f25a2a7bd9b806)
Transformirajmo sada jednakost u pogodniji oblik:
![{\displaystyle p\left(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+\cdots +a_{1}q^{n-1}\right)=-a_{0}q^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/283bdbf40dd05003d541a5bc86b2e7e72b517fc2)
Dakle,
dijeli
. No, kako su
relativno prosti, prema Euklidovoj lemi su i
također relativno prosti što znači da mora biti
.
Slično ćemo transformirati jednakost u ovaj oblik
![{\displaystyle q\left(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+\cdots +a_{0}q^{n-1}\right)=-a_{n}p^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff75356d4ccc8f642e9d3d4aa379a785392ad7e5)
Analogno slijedi
, što je i trebalo pokazati.