Kvantni lc krug

$LC$ krug se može kvantizirati primjenom metoda za kvantizaciju harmonijskog oscilatora, jer je $LC$ krug električni analog običnom harmonijskom oscilatoru. Zapravo, klasični $LC$ krug je vrsta rezonantnog kruga, a sastoji se od zavojnice (oznaka $L$ ), i kondenzatora (oznaka $C$ ). Kada ih međusobno spojimo, električna struja u krugu oscilira na rezonantnoj frekvenciji:

$\omega ={\frac {1}{\sqrt {LC}}}$

gdje je $L$ induktivitet zavojnice u henrijima, a $C$ kapacitet kondenzatora u faradejima. Kružna frekvencija ima jedinice radijan u sekundi: rad/s ili samo 1/s. Kondenzator pohranjuje energiju u svojem električnom polju (npr. za pločasti kondenzator je to električno polje između ploča) koje ovisi o naponu $V$ , što se zapisuje:

$E_{C}={\frac {1}{2}}CV^{2}={\frac {Q^{2}}{2C}}$

gdje je $Q$ ukupni naboj na kondenzatoru, a računa se

$Q(t)=\int _{-\infty }^{t}I(\tau )d\tau$ .

Zavojnica pohranjuje energiju u svojem magnetskom polju koje ovisi o jakosti struje $I$ , što zapisujemo:

$E_{L}={\frac {1}{2}}LI^{2}={\frac {\phi ^{2}}{2L}}$

gdje je $\phi$ magnetski tok (magnetski fluks) definiran kao:

$\phi (t)\equiv \int _{-\infty }^{t}V(\tau )d\tau$ .

Pošto su naboj i magnetski tok kanonski konjugirane varijable, korištenjem kanonske kvantizacije možemo klasični hamiltonijan zapisati u kvantnom formalizmu, zamjenom s pripadajućim operatorima:

${\begin{array}{l}{\phi \rightarrow {\hat {\phi }}}\\[2mm]{q\rightarrow {\hat {q}}}\\[3mm]{H\rightarrow {\hat {H}}={\frac {{\hat {\phi }}^{2}}{2L}}+{\frac {{\hat {q}}^{2}}{2C}}}\end{array}}$

te nametanjem kanonski komutacijskih relacija:

$[{\hat {\phi }},~{\hat {q}}]=i\hbar$ .