Kvadratna funkcija

$f(x)=x^{2}-x-2\,\!$

Kvadratna funkcija je polinomna funkcija gdje je najveća potencija $n=2.$ Najčešće se zapisuje u obliku

$y=f(x)=ax^{2}+bx+c\,$

graf kvadratne funkcije u koordinatnom sustavu je parabola.

Na primjer,

$y=f(x)=x^{2}-x-2\,$

je kvadratna funkcija, čiji je graf prikazan je na slici desno.

Nultočke funkcije

U analizi osobina neke funkcije uobičajeno je najprije naći nultočke funkcije, odn. nultočke grafa funkcije za koje funkcija poprima vrijednost nula. U prikazanom slučaju to vodi rješavanju kvadratne jednadžbe

$x^{2}-x-2=0\,$

rješenja koje su :

$x_{1}=2,x_{2}=-1.\,$

Točke $(2,0)$ i $(-1,0)$ predstavljaju zato nultočke grafa funkcije

$y=x^{2}-x-2\,$.

U jednostavnijim slučajevima nultočke funkcije možemo naći neposredno iz same funkcije. Naime, razmatrajući funkciju

$y=x^{2}-x-2\,$

na prvi pogled je vidljivo da se ona može prikazati u obliku umnoška dva binomna člana kao

$y=(x+1)(x-2)\,$

gdje će očito vrijednost funkcije biti jednaka nuli za $x=-1$ i $x=2$.

Ako graf funkcije zaista siječe apscisu, odn. x-os koordinatnog sustava, tada će nultočke funkcije biti realni brojevi jer su i rješenja kvadratne jednadžbe realna. Međutim, ako graf funkcije ne siječe x-os tada niti odgovarajuća kvadratna jednadžba neće imati realna rješenja, već će se rješenja nalaziti u domeni kompleksnih brojeva.

Tjeme grafa funkcije

U primjeru datu kvadratnu funkciju možemo razmatrati i kao parabolu osnovnog oblika

$x^{2}=2py\,$

no pomaknutu iz središta koordinatnog sustava, gdje je p poluparametar parabole. Iz funkcije zadane sa

$y=x^{2}-x-2\,$

može se naći redom

${\begin{aligned}y&=x^{2}-x-2\\y+2&=x^{2}-x\\y+2&=x^{2}-x+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{4}}\\y+2+{\frac {1}{4}}&=(x-{\frac {1}{2}})^{2}\\y+2,25&=(x-{\frac {1}{2}})^{2}\end{aligned}}$

odakle slijedi da su koordinate tjemena T grafa funkcije određene koordinatama x=0,5 i y=-2,25 te govorimo o grafu funkcije čije je tjeme "pomaknuto" izvan središta koordinatnog sustava.

Ekstremi kvadratne funkcije

Kvadratna funkcija ima jedan ekstrem, minimum ili maksimum funkcije, a ovisno o predznaku vodećeg člana funkcije. Za funkciju

$y=x^{2}-x-2\,$

to će biti minimum funkcije (a>0) koji se na grafu funkcije nalazi u točki gdje je smješteno tjeme funkcije T. Ekstrem funkcije može se naći i na drugi način. Diferencirajući funkciju nalazimo da je

$dy=2xdx-dx\,$ odakle slijedi da je

$dy=(2x-1)dx\,$

$y'={\frac {dy}{dx}}=2x-1.\,$

Ekstrem funkcije postoji za dy/dx=0 što vrijedi za x=1/2, a to je upravo x koordinata tjemena parabole u grafu. Kako je, nadalje, druga derivacija za svaki x veća od nule, očito se zaista radi o minimumu funkcije što se evidentno vidi i iz grafa funkcije.

Parabola i kvadratna funkcija

Parabola je kao krivulja de facto graf kvadratne funkcije. Valja samo ustanoviti vezu između odgovarajućih članova polinoma kvadratne funkcije te poluparametra p parabole.

Paraboli s tjemenom u ishodištu koordinatnog sustava i osnosimetričnoj u odnosu na y-os koordinatnog sustava odgovara tjemena jednadžba oblika

$x^{2}=2py\,$

odakle slijedi da je

$y={\frac {1}{2p}}x^{2}.\,$

Uspoređujući parabolu s tjemenom u ishodištu koordinatnog sustava kao grafa odgovarajuće kvadratne funkcije nalazimo da je

$y={\frac {1}{2p}}x^{2}=ax^{2}\,$

gdje je evidentno

${\frac {1}{2p}}=a\,$, odnosno ${\frac {1}{2a}}=p\,$

što predstavlja neposrednu vezu poluparametra parabole p i vodećeg člana a polinoma kvadratne funkcije. Do odgovarajuće sličnih odnosa može se doći i razmatranjem parabole, odn. odgovarajućeg grafa kvadratne funkcije s pomaknutim tjemenom izvan središta koordinatnog sustava.

Konačno, valja napomenuti da paraboli definiranoj tjemenom jednadžbom

$y^{2}=2px\,$

odgovara inverzna kvadratna funkcija oblika

$x=f(y)=ay^{2}+by+c=0\,$

gdje će sada, naravno, članovi a, b i c poprimiti neke druge vrijednosti, a uz zadržavanje svih odgovarajućih ekvivalentnih odnosa.

Značaj kvadratne funkcije

Razmatranje svojstava kvadratne funkcije često je na neki način uvod u analizu sve složenijih matematičkih funkcija i uvod u matematičku analizu općenito. Kvadratnu funkciju, međutim, vrlo često nalazimo u prirodi u različitim fizikalnim sustavima jer je, na primjer, u svakom ubrzanom gibanju prijeđeni put ovisan o kvadratu vremena, električna snaga na otporniku ovisna je o veličini otpora i kvadratu struje koja prolazi kroz njega, električna energija pohranjena u kondenzatoru ovisi o njegovu kapacitetu i kvadratu napona koji postoji na njegovim oblogama i td.

Literatura

• Gusić J., Mladinić P., Pavković B, "Matematika 2", Školska knjiga, Zagreb, 2006.
• Antoliš S., Copić A., "Matematika 4", Školska knjiga, Zagreb, 2006.