Funkcija identiteta

Funkcija identiteta (ili jednostavno identiteta) je matematička funkcija kojoj je svaka vrijednost jednaka pripadajućoj vrijednosti argumenta. Odnosno, vrijedi $f(x)=x$ za svaki $x$ iz domene funkcije $f.$ Uz taj uvjet, ako su skupovi $A,B$ redom domena i kodomena od $f$, treba istaknuti da je nužno da vrijedi i $A=B$ da bi funkcija bila identiteta.

Dakle identiteta je dana dvama uvjetima: mora biti $x\mapsto x=f(x)$ te $f\colon A\to A$.

Najpoznatiji primjer identitete je funkcija $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$, $x\mapsto x$ na skupu realnih brojeva koja je u Kartezijevom koordinatnom sustavu predočena pravcem $y=x$. Taj je pravac simetrala I. i III. kvadranta.

Pravac y = x kao graf funkcije identitete na skupu realnih brojeva

Definicija

Ako je $M$ neki skup, funkcija identiteta $f$ na $M$ je definirana da bude takva funkcija s domenom i kodomenom $M$ koja zadovoljava

$f(x)=x$ za svaki element $x$ u $M$.

Drugim riječima, funkcijska vrijednost $f(x)$ u $M$ (dakle u kodomeni) je uvijek jedna te ista ulazna vrijednost $x$ od $M$ (sada domena). Funkcija identiteta na $M$ je očito injektivna te surjektivna, pa je ona očito bijekcija.

Funkcija identiteta $f$ na $M$ nerijetko se označuje s ${\text{id}}_{M}$.