Bikvadratna i simetrična jednadžba su jednadžbe viših potencija koje se u posebnim slučajevima svode na kvadratne .
Kod bikvadratne jednadžbe moguća je supstitucija oblika: x4 = t2 i x2 = t ili neka slična supstitucija kojom se jednadžba svodi na kvadratnu.
Zadana je jednadžba:
x
4
−
13
x
2
+
36
=
0.
{\displaystyle x^{4}-13x^{2}+36=0.\,}
Supstitucijom: x4 = t2 i x2 = t nalazimo novu jednadžbu:
t
2
−
13
t
+
36
=
0
,
{\displaystyle t^{2}-13t+36=0,\,}
gdje rješavajući dobivenu kvadratnu jednadžbu nalazimo:
t
1
=
9
,
t
2
=
4
{\displaystyle t_{1}=9,t_{2}=4\,}
gdje su tada rješenja zadane jednadžbe:
x
1
=
+
3
,
x
2
=
−
3
,
x
3
=
+
2
,
x
4
=
−
2.
{\displaystyle x_{1}=+3,x_{2}=-3,x_{3}=+2,x_{4}=-2.\,}
Zadana je jednadžba:
x
6
−
19
x
3
−
216
=
0.
{\displaystyle x^{6}-19x^{3}-216=0.\,}
Supstitucijom: x6 = t2 te x3 = t nalazimo novu jednadžbu:
t
2
−
19
t
−
216
=
0.
{\displaystyle t^{2}-19t-216=0.\,}
gdje rješavajući dobivenu kvadratnu jednadžbu nalazimo i rješenja:
t
1
=
27
,
t
2
=
−
8
{\displaystyle t_{1}=27,t_{2}=-8\,}
x
1
=
+
3
,
x
2
=
−
2.
{\displaystyle x_{1}=+3,x_{2}=-2.\,}
Pri rješavanju simetrične jednadžbe nalazimo odgovarajuću supstituciju kojom se simetrična jednadžba više potencije pretvara u kvadratnu jednadžbu.
Zadana je jednadžba:
x
4
+
2
x
3
−
6
x
2
+
2
x
+
1
=
0.
{\displaystyle x^{4}+2x^{3}-6x^{2}+2x+1=0.\,}
Rješavajući jednadžbu nalazimo, redom:
x
4
+
2
x
3
−
6
x
2
+
2
x
+
1
=
0
/
:
(
x
2
)
x
2
+
2
x
−
6
+
2
1
x
+
1
x
2
=
0
(
x
2
+
1
x
2
)
+
2
(
x
+
1
x
)
−
6
=
0
/
(
S
u
p
s
t
i
t
u
c
i
j
a
:
x
+
1
x
=
t
,
x
2
+
1
x
2
=
t
2
−
2
)
t
2
−
2
+
2
t
−
6
=
0
t
2
+
2
t
−
8
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+2x^{3}-6x^{2}+2x+1&=0/:(x^{2})\\x^{2}+2x-6+2{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{x^{2}}}&=0\\(x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}})+2(x+{\frac {1}{x}})-6&=0/(Supstitucija:x+{\frac {1}{x}}=t,x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}=t^{2}-2)\\t^{2}-2+2t-6&=0\\t^{2}+2t-8&=0\end{aligned}}}
Rješavajući dobivenu kvadratnu jednadžbu nalazimo da je:
t
1
=
+
2
,
t
2
=
−
4.
{\displaystyle t_{1}=+2,t_{2}=-4.\,}
Sukladno uvedenoj supstituciji možemo ustvrditi da je:
a
)
x
+
1
x
=
2
{\displaystyle a)x+{\frac {1}{x}}=2\,}
b
)
x
+
1
x
=
−
4
{\displaystyle b)x+{\frac {1}{x}}=-4\,}
Prema a) nalazimo novu kvadratnu jednadžbu:
x
2
−
2
x
+
1
=
0
{\displaystyle x^{2}-2x+1=0\,}
i prva dva rješenja:
x
1
=
x
2
=
1
,
{\displaystyle x_{1}=x_{2}=1,\,}
a prema b) nalazimo i drugu novu kvadratnu jednadžbu:
x
2
+
4
x
+
1
=
0.
{\displaystyle x^{2}+4x+1=0.\,}
i druga dva rješenja:
x
3
=
2
+
3
,
x
4
=
2
−
3
.
{\displaystyle x_{3}=2+{\sqrt {3}},x_{4}=2-{\sqrt {3}}.\,}
Gusić J., Mladinić P.,Pavković B., "Matematika 2", Školska knjiga, Zagreb, 2006. 
