Bézoutova lema ili Bézoutov identitet je jedan od najvažnijih rezultata u elementarnoj teoriji brojeva. Lema tvrdi:
- Neka su
cijeli brojevi i neka je
najveća zajednička mjera brojeva
Tada postoje
takvi da je
Uz to, vrijedi
[1]
Iako se lema zove po francuskom matematičaru Étienne Bézoutu (1730. – 1783.), ovu je tvrdnju u svom radu ranije iskazao drugi francuski matematičar, Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581. – 1638.).
Promotrimo skup
Uočimo da su
Dakle,
nije neprazan skup. Prema svojstvu dobre uređenosti prirodnih brojeva postoji najmanji element skupa
Prema tome, neka je
najmanji član od
To znači da ga možemo zapisati kao
(1)
Dokaz ćemo da
ali i da je
Pretpostavimo bez smanjenja općenitosti (BSO) da
Prema teoremu o dijeljenju s ostatkom možemo pisati
Dobivamo
Koristeći (1) dobivamo
što znači
. No,
što je kontradikcija jer je
Dakle,
i analogno
Još valja dokazati da je
Pretpostavimo da
i BSO
Dakle
vrijedi
Znamo da je
pa je preko gornjih jednakosti
Vidimo da
pa je zaista
čime je lema dokazana.
Dokaz je moguće zorno pokazati i primjenom Euklidovog algoritma.
Uvjet relativne prostosti[uredi | uredi kôd]
Iz dokaza se vidi da kada je
slijedi
i obrnuto, kada su
relativno prosti mora biti
za neke