Aksiomatska izgradnja skupa R

(R,+,·,≤)

(R₁) ∀ a,b∈R a+b=b+a (komutativnost zbrajanja)

(R₂) ∀ a,b,c ∈R (a+b)+c=a+(b+c)(asocijativnost zbrajanja)

(R3) (∃0∈R)(∀a∈R) a+0=0+a=a (postojanje neutralnog elementa u zbrajanju broja i nule)

(R4) (∀a∈R)(∃(-a)∈R) a+(-a)=(-a)+a=0 (postojanje inverznog elementa za zbroj :suprotan broj)

(R5) ∀a,b∈R a∙b=b∙a (komutativnost množenja)

(R₆) ∀a,b,c∈R (a∙b)∙c=a∙(b∙c) (asocijativnost množenja)

(R₇) (∃1∈R\{0}(∀a∈R) a∙1=1∙a=a (postojanje neutralnog elementa za množenje zove se jedinice)

(R₈) (∀a∈R\{0}(∃1/a∈R) a∙1/a=1/a∙a=1 (postojanje inverznog elementa za množenje recipročni broj)

(R₉) (∀a,b,c∈R) 1. (a+b)∙c=a∙c+b∙c 2. a∙(b+c)=a∙b+a∙c (distibutivnost s desna/lijeva množenja prema zbroju)

(R₁₀) (∀a,b∈R) a≤b ili b≤a (usporedljivost)

(R₁₁) ∀a,b∈R (a≤b i b≤a)⇒a=b (antisimetričnost)

(R₁₂) (∀a,b∈R)(a≤b i b≤c)⇒a≤c (tranzitivnost)

(R₁₃) (∀a,b,c∈R)a≤b⇒a+c≤b+c (kompatibilnost relacije ≤ prema zbrajanju)

(R₁₄) (∀a,b∈R)(0≤a ∧ 0≤b)⇒0≤a∙b (kompatibilnost relacije ≤ prema množenja)

(R₁₅) Aksiom o potpunosti-Za svaki odozdo omeđeni podskup X skupa R postoji najveća donja međa ,tj. postoji r₀∈R tako da za svaku donju među skupa R vrijedi da je r₀≤r.

Napomena

Aksiomi od R₁ do R₁₄ razlikuju skupove N i Z od skupa R, ali ne razlikuju skup Q od skupa R, tu razliku iskazuje R₁₅, aksiom o potpunosti.

R₁-R₉...aksiomi polja (ili računanja)

R₁₀-R₁₄...aksiomi uređaja

(R,+,·)&(R₁-R₉)...polje realnih brojeva

(R,+,·,≤)&(R₁-R₁₄)...uređeno polje realnih brojeva